2005 : Etude de fonctions

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Corrigé 2012 : Préparation de l'acétanilide

Terminale S1 et S3

2005 : Etude de fonctions

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

Dans tout ce problème $a$ désigne un nombre réel donné.

Partie A

1) Déterminer la solution générale de l'équation différentielle (E): $y\prime\prime+2ay\prime+a^{2}y=0$

2) Déterminer la solution g de (E) vérifiant $g(0)=0$ et $g\prime(0)=e$

Partie B

Dans la suite on note $f_{a}$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: $f_{a}(x)=xe^{(-ax+1)}.$ Le plan étant muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ , on note $(C_{a})$ la courbe représentative de $f_{a}$ dans ce repère.

1) Démontrer que pour tout réel x, $f_{a}(-x)=-f_{-a}(x).$ En déduire une transformation permettant d'obtenir $(C_{-a})$ à partir de $(C_{a})$ .

2) Pour $a\neq0$ , montrer que pout réel x de $\mathbb{R}$ , $f_{a}(x)=\frac{1}{a}f_{1}(ax).$ En déduire une transformation permettant d'obtenir $(C_{a})$ à partir de $(C_{1})$ .

3) Etudier les variations de $f_{0}$ et $f_{1}.$

4) a) Montrer que toutes les courbes $(C_{a})$ passent par un point fixe qu'on précisera.

b) Soit $(E)$ l'ensemble des points du plan dont les couples de coordonnées vérifient $xy>0$ . Démontrer que pour tout point de $(E)$ il passe une courbe $(C_{a})$ et une seule.