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Corrigé Epreuve 2003 : Etude de fonctions

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

PARTIE A

1) $\varphi$ est la fonction définie par:

$\varphi(x)=\exp(\frac{-1}{x^{2}}),$ si $x\neq0$ et $\varphi(0)=0$

a) Sur $]-\infty,0[\cup]0,+\infty\lbrack$ $\varphi$ est continue et
dérivable comme composée de fonctions continues et dérivables.

Continuité de $\varphi$ en 0

$\varphi$ (0) = 0

$\lim_{x\rightarrow 0}\varphi(x)=\lim_{t\rightarrow -\infty} e^{t}$ avec $t=-\frac{1}{x^{2}}$

or $\lim_{t\rightarrow -\infty} e^{t}=0$ donc $\lim_{x\rightarrow 0}\varphi(x)=$ $\varphi$ $(0)$

d'où $\varphi$ continue sur $\mathbb{R}$

Dérivabilité de $\varphi$ en 0

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\varphi(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x}$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\varphi(x)~}{~x}=\lim_{x\rightarrow 0}[-x(-\frac{~1}{~x^{~2}})e^{-\frac{~1}{~x^{~2}} }]=0$

car $te^{t}$ tend vers $0$ quand $t$ tend vers $-\infty$

ainsi $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\varphi(x)~}{~x}=0$

donc $\varphi$ est dérivable en 0 et $\varphi^{\prime}(0)=0$

d'où $\varphi$ dérivable sur $\mathbb{R}$

Si $x=0$ , $2\varphi(x)=2\varphi(0)=0$

Si $x=0$ , $x^{~3}\varphi^{\prime}(x)=0^{~3}\varphi^{\prime}(0)=0$

ainsi $2\varphi(0)=0^{~3}\varphi^{\prime}(0) \qquad (a)$

pour $x\neq0 \qquad \varphi^{\prime}$ $(x)=\left( e^{-\frac{~1}{~x^{~2}} ~}\right) ^{\prime}$

$\varphi^{\prime}(x)=\left( -\frac{~1}{~x^{~2}}\right) ^{\prime}\left( e^{-\frac{~1}{~x^{~2}}~}\right)$

$\varphi^{\prime}(x)=\frac{~2}{~x^{~3}}e^{-\frac{~1}{~x^{~2}}~},x\neq0$

ainsi $x^{~3}\varphi^{\prime}(x)=2e^{-\frac{~1}{~x^{~2}}~},x\neq0$

pour $x\neq0,$ $x^{~3}\varphi^{\prime}(x)=2\varphi(x) \qquad (b)$

en regroupant les résultats $(a)$ et $(b)$ on a:

$\forall x\in \mathbb{R} \qquad2\varphi(x)=x^{~3}\varphi^{\prime}(x)$

2) Variation de $\varphi$

pour $x\neq0,$ $\varphi^{\prime}$ $(x)=\frac{2\varphi(x)~}{x^{~3}~}$

$\varphi^{\prime}(x)$ et $x^{~3}$ ont le même signe pour $x\neq0$

$2\varphi(x)$ garde un signe constant positif

Remarque : $\varphi$ est paire

Recherche des points d'inflexion éventuels.

$2\varphi(x)$ $=x^{~3}\varphi^{\prime}(x)$ pour $x\neq0$

$2\varphi^{\prime}(x)=3x^{~2}\varphi^{\prime}(x)+x^{~3}\varphi^{\prime\prime }(x)$

$x^{~3}\varphi^{\prime\prime}(x)=2\varphi^{\prime}$ $(x)-3x^{~2} \varphi^{\prime}(x)$

$x^{~3}\varphi^{\prime\prime}(x)=\frac{~4\varphi(x)}{~x^{~3}}-3x^{~2} \frac{~2\varphi(x)}{~x^{~3}}$

$\varphi^{\prime\prime}(x)=\frac{~2\varphi(x)}{~x^{~6}}(2-3x^{~2}),$ $x\neq0$

Etudions $~\lim_{x\rightarrow 0}\frac{~\varphi^{\prime}(x)}{~x}=~\lim_{x\rightarrow 0}\frac{~\frac {~2\varphi(x)}{~x^{~3}}}{~x}$

$~\lim_{x\rightarrow 0}\frac{~\varphi^{\prime}(x)}{~x}=~\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2~\varphi(x)}{~x^{~4}} =~\lim_{x\rightarrow 0}\frac{~2}{~x^{~4}}e^{-\frac{~1}{~x^{~2}}~}=0$

donc $~\varphi^{\prime\prime}(0)=0$

signe de $\varphi^{\prime\prime}$

donc on a deux points d'inflexion en $A\left( -\sqrt{\frac{~2}{~3}} ,~\varphi(-\sqrt{\frac{~2}{~3}})\right)$ et $B\left( \sqrt{\frac{~2}{~3} },~\varphi(\sqrt{\frac{~2}{~3}})\right)$

courbe de $\varphi$

PARTIE B

$f(x)=\frac{~ {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt}{~\varphi(x)};x\neq0$ et $f(0)=0$

a) Montrons que f est impaire sur $\mathbb{R}$

f étant définie sur $\mathbb{R} ,$ si $x\in \mathbb{R}$ alors $-x\in \mathbb{R}$

si $x\neq0\qquad f(-x)=\frac{~ {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{-x}} \varphi(t)dt}{~\varphi(-x)}$

or $\varphi$ paire donc $\varphi(-x)=\varphi(x)$

d'autre part ${\displaystyle\int\nolimits_{0}^{-x}} \varphi(t)dt$ en posant $u=-t,$ on a d $u=-dt$

${\displaystyle\int\nolimits_{0}^{-x}} \varphi(t)dt$ $= {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(-u)du$ or $\varphi(-u)=\varphi(u)$

${\displaystyle\int\nolimits_{0}^{-x}} \varphi(t)dt$ $=- {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(u)du$ ainsi $f(-x)=\frac{~- {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{-x}} \varphi(t)dt}{~\varphi(x)};x\neq0$

donc pour $x\neq0,$ $f(-x)=$ $-f(x)$

$~f$ est alors impaire sur $\mathbb{R} .$

b) $0\leq t\leq x$

sur $\left[ ~0,x\right] \qquad u\longmapsto\varphi(u)$ est croissante

donc $\varphi(0)\leq\varphi(t)\leq\varphi(x)$

ce qui entraine $\varphi(t)\leq\varphi(x)$

la fonction $t\longmapsto\varphi(t)~$ continue sur $\left[ ~0,x\right] ,x>0$

par passage de l'intégrale de $0$ à $x$ on obtient

${\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt\leq$ ${\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(x)dt$

donc ${\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt\leq$ $x\varphi(x);pour~x>0$

c) pour $x>0, {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt\succeq0$ et $\varphi(x)>0$

donc $f(x)=\frac{~ {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt}{~\varphi(x)}\geq0$

d'autre part pour $~x>0$

$0\leq {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt\leq$ $x\varphi(x)$

$0\leq\frac{~ {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt}{~\varphi(x)}\leq$ $x$

donc $0\leq f(x)\leq$ $x$

or $\lim_{x\rightarrow 0^+}0=\lim_{x\rightarrow 0^+} x=0$

On en déduit que $\lim_{x\rightarrow 0^+} f(x)=0$

f étant impaire $\lim_{x\rightarrow 0^-} f(x)=-\lim_{x\rightarrow 0^+} f(x)=0$

donc $\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=0$

or $f(0)=0$

ainsi $\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=f(0)$

f est alors continue en $0$

a) Pour $x=0,$ $2J_{~n}(0)=0$

$(n+3)J_{~n+2}(0)=0$

$0^{~n+3}\varphi(0)=0$

donc pour $x=0$ on a $2J_{~n}(x)+(n+3)J_{~n+2}(x)=x^{~n+3}\varphi(x)$

étudions le cas où $x\neq0$

$J_{~n}(x)= {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} t^{~n}\varphi(t)dt\qquad\varphi(t)=\frac{~t^{~3}}{~2}\varphi\prime(t)$

$J_{~n}(x)=\frac{~1}{~2} {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} t^{~n+3}\varphi\prime(t)dt$

on pose:

$u=t^{~n+3},u^{\prime}=(n+3)t^{~n+2}$

$v^{\prime}=\varphi^{\prime}(t),v=\varphi(t)$

$2J_{~n}(x)=\left[ t^{~n+3}\varphi(t)\right] _{~0}^{~x}- {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} (n+3)t^{~n+2~}\varphi(t)dt$

$2J_{~n}(x)=x^{n+3}\varphi(x)-(n+3) {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} t^{~n+2~}\varphi(t)dt$

$2J_{~n}(x)+(n+3)J_{~n+2}(x)=x^{~n+3}\varphi(x)$

b) Pour $x>0$ Montrons que $J_{~n}(x)\leq\frac{~1}{~2}x^{~n+3}\varphi(x)$

on a d'aprés 2) : $2J_{~n}(x)=x^{n+3}\varphi(x)-(n+3)J_{~n+2}(x)$

or $-(n+3)J_{~n+2}(x)\leq0$ donc $x^{n+3}\varphi(x)-(n+3)J_{~n+2}(x)\leq x^{n+3}\varphi(x)$

d'où $2J_{~n}(x)\leq\frac{~1}{~2}x^{~n+3}\varphi(x)$ aussi $J_{~n} (x)\leq\frac{~1}{~2}x^{~n+3}\varphi(x)$

Montrons que $J_{~n+2}(x)\leq\frac{~1}{~\left( n+3\right) }x^{~n+3} \varphi(x)$

d'aprés la relation 2) : $(n+3)J_{~n+2}(x)-x^{n+3}\varphi(x)=-2J_{~n}(x)$

or $-2J_{~n+2}(x)\leq0$ donc $(n+3)J_{~n+2}(x)-x^{n+3}\varphi(x)\leq0$

aussi $(n+3)J_{~n+2}(x)\leq x^{n+3}\varphi(x)$

d'où $J_{~n+2}(x)\leq\frac{~1}{~\left( n+3\right) }x^{~n+3}\varphi(x)$

c) Si $n=0$

$J_{~0}(x)\leq\frac{~1}{~2}x^{~3}\varphi(x)$ et $x>0$

$0\leq\frac{~J_{~0}(x)}{~\varphi(x)}\leq\frac{~1}{~2}x^{~3}$

$0\leq f(x)\leq\frac{~1}{~2}x^{~3}$

pour $x>0,0\leq\frac{~f(x)}{~x}\leq\frac{~1}{~2}x^{~3}$

donc $\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{f(x)}{x}=0$

$f$ est alors dérivable à droite de $0$

$x\longmapsto\frac{~f(x)}{~x}$ est paire sur $\mathbb{R} ^{~\ast}$

donc $\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{f(x)}{x}=0$

donc $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=0$ or $f(0)=0$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{~x~-~0}=0$

d'où $f$ est dérivable en $0$ et $f^{\prime}(0)=0$

a) pour $n=0$ , on a $2J_{~0}(x)+3J_{~2}(x)=x^{~3}\varphi(x)$

pour $n=2,$ on a $2J_{2}(x)+5J_{~4}(x)=x^{~5}\varphi(x)$

ainsi

$J_{~2}(x)=\frac{x^{~3}\varphi(x)~-~2J_{~0}(x)}{3}$

$\frac{2x^{~3}\varphi(x)~-~4J_{~0}(x)}{3}+5J_{~4}(x)=x^{~5}\varphi(x)$

$15J_{~4}(x)+2x^{~3}\varphi(x)-~4J_{~0}(x)=3x^{~5}\varphi(x)$

$J_{~0}(x)=\frac{~15}{~4}J_{~4}(x)+\left( \frac{~1}{~2}x^{~3}-\frac{~3} {4}x^{~5}\right) \varphi(x)$

b) $J_{~0}(x)=~f(x)\varphi(x)$

donc $~f(x)=$ $\frac{~15}{~4}\frac{~J_{~4}(x)}{~\varphi(x)}+\frac{~1} {~2}x^{~3}-\frac{~3}{4}x^{~5}$

$\frac{~f(x)}{~x^{~3}}=\frac{~15}{~4}\frac{~J_{~4}(x)}{~x^{~3}~\varphi (x)}+\frac{~1}{~2}-\frac{~3}{4}x^{~2}$

or $0\leq\frac{~J_{~4}(x)}{~x^{~3}~\varphi(x)}\leq\frac{~1}{~5}x^{~2}$ donc
$\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{J_{4}(x)}{x^{3}\varphi(x)}=0$

donc $\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{f(x)}{x^{3}}=\frac{~1} {~2}$ or $x\longmapsto\frac{~f(x)}{~x^{~3}~}$ paire

donc $\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{f(x)}{x^{3}} =\lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{f(x)}{x^{3}}=\frac{1}{2}$

c) pour $x\neq0$

$~f(x)=$ $\frac{~ {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt}{~\varphi(x)}$

$~f\prime(x)=\frac{\left( {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt\right) ^{\prime}~\varphi(x)-~\varphi(x)^{\prime} {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt}{\left[ ~\varphi(x)~\right] ^{~2}}$

or $\left( {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt\right) ^{\prime}~=~\varphi(x)~$

et $2\varphi(x)~=x^{~3}~\varphi\prime(x)$

donc $\varphi\prime(x)=\frac {~2\varphi(x)}{~x^{~3}}$

$~f\prime(x)=\frac{\varphi(x)\times\varphi(x)-\frac{~2\varphi(x)}{~x^{~3}} {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt}{\left[ ~\varphi(x)~\right] ^{~2}}$

$f^{\prime}(x)=1-\frac{2}{x^{3}}\frac{ {\displaystyle\int\nolimits_{0}^{x}} \varphi(t)dt}{\varphi(x)}$

ainsi $f^{\prime}(x)=1-\frac{2}{x^{3}}f(x);x\neq0$

or $f^{\prime}(0)=0$

$\lim_{x\rightarrow 0} f^{\prime}(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\left[ 1-\frac{2}{x^{3}}~f(x)\right]$ or $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}}=\frac{1}{2}$

ainsi $\lim_{x\rightarrow 0} f^{\prime}(x)=1-2\times\frac{~1}{~2}=0$

conclusion : $\lim_{x\rightarrow 0} f^{\prime}(x)=f^{\prime}(0)$

$f^{\prime}$ est continue en 0

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