2003 : Etude de fonctions

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Introduction : le système-Monde : des espaces interdépendants (2)

Terminale S1 et S3

2003 : Etude de fonctions

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

A) Soit $\varphi$ la fonction numérique définie par :
$\left\{ \begin{array}{rrrrr} \varphi(x) & = & \exp(\frac{-1}{x^2}), si x\neq0 \\ \varphi(0) & =0 \\ \end{array} \right.$

1) a) Montrer que $\varphi\$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$ .

b) Etablir que pour tout réel x, on a: $2\varphi(x)=x^{3}\varphi^{\prime}(x);\qquad(1)$

2) Etudier les variations de $\varphi$ et tracer sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$ .(unité graphique $1$ cm).

On précisera les points d'inflexion éventuels.

B) Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par:

${f(x)=\frac{\Large{\int_{0}^{x}}\varphi(t)dt}{\varphi (x)}, si x\neq0$ et $f(0)=0$

Dans cette partie, on se propose d'étudier $f$ et sa dérivée au voisinage de $0$ .

1) a) Etablir que $f$ est impaire et dérivable sur $\mathbb{R} ^{\ast}.$

b) Montrer que pour tout réel strictement positif $x$ on a : $\int_{0}^{x}\varphi(t)dt\leq x\varphi(x).$

c) En déduire que $f$ est continue en 0

2) Pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x$ on pose $J_{n}(k)=\int_{0}^{x}t^{n}\varphi(t)dt$ pour non nul et $J_{0}(x)=\int_{0}^{x}\varphi(t)dt.$

(on remarquera donc que $f(x)=\frac{J_{0}(x)}{\varphi(x)},$ pour tout $x$ non nul.)

a) En utilisant la relation $(1)$ et en intégrant par parties, montrer que pour tout $n\in N:$

$2J_{n}(x)+(n+3)J_{n+2}(x)=x^{n+3}\varphi(x);\qquad(2)$

b) En déduire que pour tout entier naturel $n$ et tout x $\in R_{+}^{\ast}$ on a :

$\left\{ \begin{array}{rrrrr} J_{n}(x)\leq\frac{1}{2}x^{n+3}\varphi(x)\\ J_{n+2}(x)\leq\frac{1}{n+3}x^{n+3}\varphi(x) \\ \end{array} \right.$

c) En déduire $\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{f(x)}{x}$ puis que $f$ est dérivable à droite de 0.

3)a) En utilisant la relation $(2)$ , montrer que $J_{0}(x)=\frac{15}{4} J_{4}(x)+(\frac{1}{2}x^{3}-\frac{3}{4}x^{5}).\varphi(x).$

b) En déduire que $\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x^3}=\frac{1}{2}.$

c) Montrer que pour tout $x\neq0.$ $f^{\prime}(x)=1-\frac{2}{x^{3}}f(x).$

En déduire que $f^{\prime}$ est continue en 0.

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