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Corrigé Epreuve 2004 : Etude d’une application complexe et détermination d’ensembles images

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

a) Montrons que $F_{a}$ admet deux points invariants

$InvF{}_{a}=\{M{\in }P{\backslash }\{A\}/F{}_{\text{a}}(M)=M\}$

$F{}_{a}(M)=M$ ${\Leftrightarrow }$ $z=\frac{\mathit{az}\text{{-}}1}{a \text{{-}}z}$ ${\Leftrightarrow }az-z^{2}=az-1$ { donc } $z^{2}=1$

d'où $\ z=1\qquad ou\qquad z={}-1$

$InvF{}_{a}=\{I(1),J({}-1)\}$

b) Montrons que $F_{a}$ est une bijection

$M{\prime }(Z)\qquad M(z)$

$Z=\frac{\mathit{az}\text{{-}}1}{a\text{{-}}z}$ ${\Leftrightarrow }$
Za {-} Zz = az {-} 1

donc z(a+Z) = Za {}-1

Si $Z{\neq -}a$ c' est à dire $M{\prime \neq }B$

on a z = $\frac{\mathit{Za}+1}{a+Z}$ est unique

Ainsi $F{}_{a}$ est une bijection de $P\backslash \{A\}$ vers $P\backslash \{B\}$

notons $F_{a}^{-1}$ sa bijection réciproque

Montrons que $F_{a}^{-1}$ = $F_{-a}$

$F_{a}^{-1}(z)=\frac{\mathit{za}+1}{a+z}$

$F_{-a}(z)=\frac{(-a)z-1}{-a-z}=\frac{+\mathit{az}+1}{a+z}$

$F_{a}^{-1}(z)=F_{-a}(z)$ pour $z{\neq -}a$

ainsi $F_{a}^{-1}$ $=F_{-a}$

a) Vérifions que $(Z+a)(z{-}a)=1-a^{2}$

posons $p=(Z+a)(z{-}a)$

$p=\left( \frac{\mathit{az}-1}{a-z}+a\right) \left( z-a\right)$

$p=\frac{\left( \mathit{az}-1+a^{2}-\mathit{az}\right) }{\left( a-z\right) } \left( z-a\right)$

$p=\frac{\left( a^{2}-1\right) }{\left( a-z\right) }\left( z-a\right)$ or $z\neq a$

donc $p=1{-}a^{2}$

ainsi $(Z+a)(z{-}a)=(1{-}a^{2})$

b)

Montrons que $\overrightarrow{{\mathit{AM}}}\cdot \overrightarrow{{\mathit{AN }}}=\overrightarrow{{\mathit{AI}}}\cdot \overrightarrow{{\mathit{AJ}}}$

soit $N{\prime }$ symétrique par rapport au centre du cercle $(C)$ de $N$ avec $O{\prime }$ centre de $(C)$ .

$\overrightarrow{{\mathit{AM}}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}=\left( \overrightarrow{{\mathit{AN}}\text{' }}+\overrightarrow{{N}\text{' }{M}} \right) .\overrightarrow{{\mathit{AN}}}$

$\overrightarrow{{\mathit{AM}}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}= \overrightarrow{{\mathit{AN}}\text{' }}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}+ \overrightarrow{{N}\text{' }{M}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}$

Or $\overrightarrow{{N}\text{' }{M}}\perp \overrightarrow{{\mathit{AN}}} \rightarrow \overrightarrow{{N}\text{' }{M}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}} =0$

donc $\overrightarrow{{\mathit{AM}}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}= \overrightarrow{AN^{\prime }}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}$

$\overrightarrow{{\mathit{AM}}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}=\left( \overrightarrow{AO^{\prime }}+\overrightarrow{{O}\prime {N}\prime }\right) .\left( \overrightarrow{{\mathit{AO}}\prime }+\overrightarrow{{O}\prime {N}} \right)$

Or $\overrightarrow{{O}\prime {N}\prime }=-\overrightarrow{{O}\prime {N}}$

$\overrightarrow{{\mathit{AM}}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}=\left( \overrightarrow{{\mathit{AO}}\prime }+\overrightarrow{{O}\prime {N}\prime } \right) .\left( \overrightarrow{{\mathit{AO}}\prime }-\overrightarrow{{O} \prime {N}\prime }\right)$

$\overrightarrow{{\mathit{AM}}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}={\mathit{AO}}$
' $^{2}-{O}$ ' ${N}$ ' $^{2}$

$O{\prime }N{\prime }=r=$ rayon du cercle $(C)$

$\overrightarrow{{\mathit{AM}}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}={\mathit{AO}}$
' $^{2}-r^{2}$

évaluons $\overrightarrow{{\mathit{AI}}}\cdot \overrightarrow{{\mathit{AJ}} }=\overrightarrow{{?}}$

Soit $I{\prime }$ le point diamétralement opposé à $I$ sur $(C)$

$\overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\overrightarrow{{\mathit{AJ}}}= \overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\left( \overrightarrow{{\mathit{AI}}\prime }+ \overrightarrow{{I}\prime {J}}\right)$

$\overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\overrightarrow{{\mathit{AJ}}}= \overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\overrightarrow{{\mathit{AI}}\prime }+ \overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\overrightarrow{{I}\prime {J}}$ avec $\overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\overrightarrow{{I}\prime {J}}=0$

donc $\overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\overrightarrow{{\mathit{AJ}}}= \overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\overrightarrow{{\mathit{AI}}\prime }$

par analogie $\overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\overrightarrow{{\mathit{AJ}}}={ \overrightarrow{{\mathit{AO}}\prime }}^{2}-r^{2}$

d' où $\overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\overrightarrow{{\mathit{AJ}}}= \overrightarrow{{\mathit{AM}}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}$

$\overrightarrow{{U}}_{1}(z_{1})\qquad \overrightarrow{{U}}_{2}(z_{2})$

$z_{1}=x_{1}+\mathrm{i}y_{1}$ avec $x_{1}$ et $y_{1}$ réels

$z_{2}=x_{2}+\mathrm{i}y_{2}$ avec $x_{2}$ et $y_{2}$ réels

$\overrightarrow{{u}}_{1}(z_{1})$ et $\overrightarrow{{u}}_{2}(z_{2})$
colinéaires donc $x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}=0$

évaluons alors $z_{1}z_{2}$

$z_{1}\bar{z}_{2}=(x_{1}+iy_{1})(x_{2}-iy_{2})$

$z_{1}\bar{z}_{2}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+i(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2})$ avec $x_{2}y_{1}{-}x_{1}y_{2}=0$

donc $z_{1}\bar{z}_{2}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}$

$z_{1}\bar{z}_{2}=\overrightarrow{{u}}_{1}.\overrightarrow{{u}}_{2}$

La réciproque est facile à établir

En déduire que $(z-a)(\bar{z}$ ' $-a)=a^{2}-1$

On a déjà $\overrightarrow{{\mathit{AM}}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}= \overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\overrightarrow{{\mathit{AJ}}}$

avec $\overrightarrow{{\mathit{AM}}}$ $(z{}-a)\qquad \overrightarrow{{ \mathit{AN}}}(z{\prime -}a)$

$\overrightarrow{{\mathit{AI}}}$ $(1{-}a)\qquad \overrightarrow{{\mathit{AJ}} }({}-1{-}a)$

$\overrightarrow{{\mathit{AM}}}.\overrightarrow{{\mathit{AN}}}=(z-a)\bar{{(z} \text{' }{-a)}}=(z-a)(\bar{z}$ ' $-a)$

$\overrightarrow{{\mathit{AI}}}.\overrightarrow{{\mathit{AJ}}} =(1-a)(-1-a)=a^{2}-1$

donc $(z-a)(\bar{z}$ ' $-a)=a^{2}-1$

Montrons que $M{\prime }$ est le symétrique de $N$ par rapport à l'
axe des ordonnées

On a $(Z+a)(Z{-}a)=1{-}a^{2}$

donc $(Z-a)(\bar{Z}\text{' }-a)=-(Z+a)(Z{-}a)$

pour $Z$ ${\neq \alpha }$

$\bar{Z}\text{' }-a=-Z{-}a$

$\bar{Z}$ ' $=-Z$

donc $M{\prime }$ et $N$ sont symétriques par rapport à $Oy$ .

a) Construction de $M{\prime }$

$(AM)$ recoupe $(C)$ en $N$ et $M{\prime }$ est le symétrique de $N$ par
rapport à l' axe des ordonnées.

b) Image par $F_{a}$ d' un cercle contenant $I$ et $J$

Si $M$ ${\in }(C)$ alors $M{\prime \in }(C)$ \

donc $F_{a}\ (C){\subseteq }(C)\qquad (1)$

Réciproquement soit $M{\prime \in }(C)$ soit $N=S_{(\mathit{Oy})}(M{ \prime })$

donc $N{\in }(C)$

la droite $(AN)$ coupe $(C)$ en $M$ tel que $F_{a}(M)=M^{\prime }$

ainsi \ $(C){\subseteq }\ F_{a}(C)\qquad (2)$

en regroupant $(1)$ et $(2)$ on obtient $F_{a} (C){=}(C)$

$g:\mathbb{R}\backslash \{a\}$ ${\rightarrow }$ $\mathbb{R}$

$x\rightarrow \frac{\mathit{ax}-1}{a{-}x}$

g dérivable sur $\mathbb{R}\backslash \{a\}$ comme rapport des fonctions
dérivables.

$g$ ' $(x)=\frac{a^{2}{-}1}{(a{-}x)^{2}}$ {\TEXTsymbol{>}} 0

tableau de variation de $g$

En déduire $F_{a}([JI])$

On a g est strictement croissante sur $[-1,1]$

or $F_{a}(J)=J$ et $F_{a}(I)=I$

donc $F_{a}([JI])=[JI]$

Image par $F_{a}$ \ de l'axe des abscisses privée de $A$

On a $g(]-\infty ,a[)=]-a,+\infty \lbrack$

et $g(]a,+\infty \lbrack )=]-\infty ,-a[$

d'où l'image par $F_{a}$ \ de l'axe des abscisses privée de $A$ est
l'axe des abscisses privé de $B$

C $\left( \frac{-{1}}{a}\right)$

On a $\frac{Z+\frac{1}{a}}{Z+a}=\frac{Z+\frac{1}{a}}{Z+a}=\frac{a(\mathit{ az}-1)+a-z}{\mathit{az}-1+a^{2}-\mathit{az}}\times {\frac{1}{a}}$

$\frac{Z+\frac{1}{a}}{Z+a}=\frac{a^{2}z-z}{a^{2}-1}=\frac{z\left( a^{2}-1\right) }{\left( a^{2}-1\right) }\times {\frac{1}{a}}$

$\frac{Z+\frac{1}{a}}{Z+a}=\frac{z}{a}$

donc $\mathit{arg}\left( \frac{Z+\frac{1}{a}}{Z+a}\right) =\mathit{arg}(z)$

c) $(D)$ une droite passant par $O$ et distinct de $(Ox)$

soit $M(z){\in }(D)$ alors $\func{arg}(z)=\theta$ \ ou $\func{arg} (z)=-\theta$ avec $\theta \in ]0,\pi \lbrack$

or $\mathit{arg}\left( \frac{Z+\frac{1}{a}}{Z+a}\right) =\mathit{ arg}(z)$

donc $\widehat{\left( \overrightarrow{{\mathit{M}}^{\prime }{\mathit{B}}}, \overrightarrow{{\mathit{M}}^{\prime }{\mathit{C}}}\right) }=\theta (2\pi )$
ou $\widehat{\left( \overrightarrow{{\mathit{M}}^{\prime }{\mathit{B}}}, \overrightarrow{{\mathit{M}}^{\prime }{\mathit{C}}}\right) }=-\theta (2\pi )$

donc $M\prime$ décrit un cercle passant par $B$ et $C$ privé de $B$
et $C$

Cas où $(D)=(Oy)$

alors $\widehat{\left( \overrightarrow{{\mathit{M}}^{\prime }{\mathit{B}}}, \overrightarrow{{\mathit{M}}^{\prime }{\mathit{C}}}\right) }=\frac{\pi }{2} (2\pi )$ ou $\widehat{\left( \overrightarrow{{\mathit{M}}^{\prime }{\mathit{B }}},\overrightarrow{{\mathit{M}}^{\prime }{\mathit{C}}}\right) }=\frac{-\pi }{2}(2\pi )$

donc $M\prime$ décrit le cercle de diamètre $[BC]$ privé de $B$
et $C$

5) ${(\Gamma }r)$ est le cercle de centre O et de rayon $r$

a) $M{\in (\Gamma }r$ ) ${\Leftrightarrow }$ $OM=r.$

On a $\frac{Z+\frac{1}{a}}{Z+a}=\frac{z}{a}$

$\frac{\left\vert {Z+\frac{1}{a}}\right\vert }{\left\vert {Z+a}\right\vert } =\frac{\left\vert {z}\right\vert }{\left\vert {a}\right\vert }$ or $\left\vert z\right\vert =OM=r$ et $\left\vert a\right\vert$ $=a$

donc $\frac{M\text{' }C}{M\text{' }B}=\frac{r}{a}$

b) Si $r{\neq }a$ , $\frac{M\text{' }C}{M\text{' }B}=k$ , $k{>}0$ ,{tex}\k{\neq}1

{/tex} et $k=\frac{r}{a}$

$M{\prime }$ décrit le cercle de diamètre $[SR]$ avec $S$ barycentre
de $(C(1),B(k))$ et $R$ barycentre de $(C({}-1),B(k))$

si $r=a$ , $M{\prime }B=M{\prime }C$

$M{\prime }$ décrit la médiatrice de $[BC]$ l' image de $({\Gamma } <span style="color: #0000ff;"><strong>_</strong></span>{a})$ est la médiatrice de $[BC]$ .

Si $r{\neq }a$ , l' image de $({\Gamma }_{a})$ est le cercle de diamètre $[SR]$

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