2004 : Etude d’une application complexe et détermination d’ensembles images

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Catégorie : Fonctions numériques

 

Le plan (P) est rapporté à un repère orthonormal direct ; le point de coordonnées (x, y) est caractérisé par son affixe . Soit a un réel tel que . On désigne par A, B, I et J les points d'affixes respectives a, -a, 1 et -1. Soit l'application de (P) privé de A dans (P) qui, au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe,

 

Le problème est consacré à l'étude de l'application et à la détermination d'ensembles images de configurations du plan par .

 

1) a) Montrer que admet deux points invariants que l'on déterminera.

 

b) Montrer que est est une bijection de (P) privé de A dans (P) privé de B et que la bijection réciproque notée est telle que .
Dans toute la suite du problème, on suppose que a>1.

 

2) Soit M un point de (P) d'affixe z non réelle et M' d'affixe Z, son image par

 

a) Vérifier que

 

b) On considère le cercle (C) passant par M et I et dont le centre est situé sur l'axe des ordonnées; (on remarquera que ce cercle contient aussi le point J). La droite (AM) coupe ce cercle en un point N d'affixe z'(qui peut être confondu avec M) . Montrer que

 

c) Vérifier que deux vecteurs et d'affixes respectives et sont colinéaires si et seulement si . En déduire que puis que M' est le symétrique de N par rapport à l'axe des ordonnées.

 

3) a) En utilisant les résultats de la question 2), donner une construction géométrique de M'.

 

b) Quelle est l'image par d'un cercle contenant les points I et J ? (On pourra remarquer le centre d'un tel cercle appartient à l'axe des ordonnées).

4) On cherche l'image par d'une droite passant par O.

 

a) Soit g la fonction définie pour tout réel x distinct a par : Etudier les variations de g (on rappelle que a>1)

 

1) En déduire :

    - L'ensemble image par du segment [JI]

    - L'ensemble image par de l'axe des abscisses privé de A.

 

b) On désigne par C le point de (P) d'affixe .Pour z distinct de 0 et de a montrer que 

 

c) En déduire que l'image par d'une droite passant par O et distinct de l'axe des abscisses et un cercle passant par B et C, privé de B. Préciser le cas particulier de l'axe des ordonnées.

 

5) Soit r un réel strictement positif. On note le cercle de centre O et de rayon r.

 

a) Montrer que si M est un point de , d'image M' par , on a :

 

b) En déduire que pour r distinct de a, si M décrit , M' décrit un cercle que l'on précisera.

 

c) Déterminer l'image de cercle .

 

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