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Corrigé Epreuve 2005 : Suite

Détails: Catégorie : Suites

$(u_{n})_{n\in$ définie par $u_{0}=1$ et $u_{n}-2u_{n-1}=2n+3$

1) $v_{n}=u_{n}+2n+b$

$v_{n}=2u_{n-1}+4n+b+3$

$v_{n-1}=u_{n-1}+2n+b-2$

$v_{n}=2\left[ u_{n-1}+2n+\frac{b+3}{2}\right]$

Par identification on obtient $\frac{b+3}{2}=b-2$ d'où $b=7$

$v_{0}=u_{0}+2(0)+7=8$

$q=2$ et $v_{0}=8$

2)

$v_{n}=v_{~0}\times q^{n}$ donc $v_{n}=8\times 2^{n}$ or $8=2^{3}$

$v_{n}=2^{n+3}$

$u_{n}=v_{n}-\left( 2n+7\right)$

$u_{n}=2^{n+3}-2n-7$

3)

S $_{n}=\sum_{k=0}^n v_{k}$

S $_{n}=v_{0}\times \frac{q^{~n+1}-1}{~q-1}$

S $_{n}=8(2^{n+1}-1)$

$\lim_{n\rightarrow \infty }$ Sn = $+\infty$

S $_{n}\geq 2005$

$2^{3}(2^{~n+1}-1)\geq 2005$

$2^{n+4}\geq 2013$

$\ln \left( 2^{~n+4}\right) \geq \ln \left( 2013\right)$

$n+4\geq \frac{\ln \left( 2013\right) ~}{~\ln 2}$

$n\geq -4+\frac{\ln \left( 2013\right) ~}{~\ln 2}$

$n_{0}=E(-4+\frac{\ln \left( 2013\right) ~}{~\ln 2})+1=7$

$n_{0}=7$

4)

$u_{~k}=2^{~n+3}-\left( 2k+7\right)$

$T_{n}=\sum_{k=0}^n u_{k}=\sum_{k=0}^n v_{k} -\sum_{k=0}^n {2k+1}$

$T_{~n}=S_{~n}-\frac{n+1~}{~2}\left( 7+2n+7\right)$

$T_{~n}=8(2^{~n+1}-1)-(n+1)(7+n)$

$T_{~n}=8(2^{~n+1}-1)-\left( n^{~2}+8n+7\right)$

$T_{~n}=n^{~2}\left[ 8\left( \frac{2^{~n+1}~}{~n^{~2}}-\frac{1~}{~n^{~2}} \right) -(1+\frac{~8}{~n}+\frac{~7}{~n^{~2}})\right]$

$\lim_{n\rightarrow \infty } T_{n}=+\infty$

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