2008 : suites et fonctions

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Terminale S1 et S3

2008 : suites et fonctions

Détails: Catégorie : Suites

Soit $f$ la fonction définie sur ${\left[{{1}{\mathrm{,}}{ }+{\infty}}\right[}$ par : $f{\left( x\right) }={\frac{1}{x}}-\frac{\ln\left( x\right) +1}{x}$ .

En utilisant la fonction $f$ , on se propose de déterminer la limite de la suite de terme général $S_n = {\sum_{k=n}^{2 n}{\frac{1}{k}}}$ .

1. Soit k un entier non nul. Etablir les relations suivantes:

a. ${{{ }\frac{1} {k+1}\leq{\int_{k}^{k+1}{\frac{1} {x}}dx}}}\leq{\frac{1}{k+1}}$ .

b. ${\int_{k}^{k+1}{\frac{1}{x}}dx}={{\frac{1}{k}}}-f\left( k\right)$ .

2.a. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que ${{\frac{1}{x\left( x+1\right) }}}={{\frac{a}{x}}}+{\frac{1}{x+1}}$

b. Soit ${{U}_{{n}}}={{\frac{1}{n\left( n+1\right) }}}+{\frac{1}{\left( n+1\right) \left( n+2\right) }}+ \ldots +{{\frac{1}{2 n\left( 2 n+1\right) }}}={\sum_{k=n}^{2 n}{\frac{1}{k\left( k+1\right) }}}$ .
Calculer ${U}_{{n}}$ en fonction de $n$ et déterminer ${\lim\csub_{n\to +\infty} U_{n} }$ .

c. Déduire des résultats de la question (1) que : ${0}\leq{\sum_{k=n}^{2 n}{f\left( k\right)}\leq{U_{n}}$ .
Déterminer alors $\lim\csub_{\to +\infty}\sum_{k=n}^{2n}{}=f\left( k\right)$ .

d. Montrer que ${f{\left( k\right) }}={{ S}_{{n}}}- \ln {\frac{2 n+1}{n}}$ . En déduire ${\lim\csub_{{n}\to {+\infty}}S}_n$

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