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2001 : Ellipse (03,5 pts)

Détails: Catégorie : Courbes Planes

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left( O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ direct.

1. On considère les points $A\left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array} \right)$ et $I \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \end{array} \right)$ . Soit (E) l'ellipse de centre I dont A est un sommet de 0 un foyer.

a) Déterminer les trois autres sommets de (E)

b) Calculer l'excentricité de ( E) et donne une équation de sa directrice associée au foyer O dans $\left(O, \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ .

c) Donner une équation de (E) dans le repère $\left( O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ .

d) Tracer (E) ; préciser les points d'intersections de (E) et de la droite $\left(O,\overrightarrow{v}\right)$ .

2. Soit l'équation d'inconnue $Z$ : $Z^2-2(4+5cos\theta)Z+(4cos\theta+5)^2=0$ , $\theta$ est un paramètre réel.

a) Résoudre cette équation pour $\theta \in \left[ 0;\pi \right]$ .

b) Lorsque $\theta \in \left[ 0;\pi \right]$ , on note $Z_{1}$ la solution dont la partie imaginaire est strictement positive, et $Z_{2}$ l'autre solution.

Soit $M_{1}$ et $M_{2}$ les points d'affixes respectives $Z_{1}$ et $Z_{2}$ .

Déterminer les coordonnées de $M_{1}$ en fonction de $\theta$ dans un repère \ $\left( O,\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)$ .

En déduire l'ensemble des points $M_{1}$ puis celui des points $M_{2}$ lorsque $\theta$ varie dans $\left] 0;\pi \right[$ .

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