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Corrigé Epreuve 2002 : Equation reduite d’une hyperbole ( 3,5 points)

Détails: Catégorie : COURBES PLANES

1) (H) : $x {{}^2}$ $-$ $2y {{}^2}$ $=1$

$x {{}^2}$ $-$ $2y {{}^2} =1\Longleftrightarrow x {{}^2} -\frac{1}{\frac{1}{2}}y {{}^2} =1$

donc $(H)$ a une équation de la forme : $\frac{x {{}^2} }{a {{}^2} }-\frac{y {{}^2} }{b {{}^2} }=1$ qui est l'équation d'une hyperbole de foyer $F\left( \frac{\sqrt{6} }{2},0\right)$ , de directrice associée d'équation $x=\frac{1}{\frac{ \sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ d'excentricité $e=\frac{\sqrt{6}}{2}$

Construction

2) $M(x,y)$

$\left\{ \begin{array}{c} x=\frac{1}{\cos \left( 2t\right) }o\grave{u}\text{ }t\text{ }\in \left[ 0, \frac{\pi }{4}\right] \\ y=\frac{1}{\sqrt{2}}\tan \left( 2t\right) \end{array} \right.$

a) si $t\in \left[ 0,\frac{\pi }{4}\right]$ alors $x\in \left[ 1;+\infty \right]$

on a : $x {{}^2} -2y {{}^2} =\frac{1}{\cos {{}^2} \left( 2t\right) }-\tan {{}^2} \left( 2t\right)$

$=1\tan {{}^2} \left( 2t\right) -\tan {{}^2} \left( 2t\right)$

$=1$

donc la trajectoire $\left( \Gamma \right)$ de $M$ est la partie de $(H)$
correspondant à $x$ dans $\left[ 1;+\infty \right[$

b) la vecteur vitesse $\vec{V}$ a pour coordonnées $x$ ' et $y$ ' avec : $x^{\prime }=\frac{-2\sin 2t}{\cos {{}^2} \left( 2t\right) }$

$y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{2}}.2\left( 1+\tan {{}^2} \left( 2t\right) \right)$

$y^{\prime }=\sqrt{2}\left( 1+\tan {{}^2} \left( 2t\right) \right)$

Pour $x=2$ on a $\cos 2t=\frac{1}{2}$

$\left\{ \begin{array}{c} t=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ t=-\frac{\pi }{6}+k\pi \end{array} \right.$

or $t\in \left[ 0,\frac{\pi }{4}\right]$ dans $t=\frac{\pi }{6}$

le point d'abscisse 2 a pour ordonnée $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{ \sqrt{6}}{\sqrt{2}}$

en ce point $\overrightarrow{V}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{ V\left( -\sqrt{3};4\sqrt{2}\right) }$

la tangente au point de coordonnées $\left( 2;\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$
a pour vecteur directeur $\overrightarrow{V\left( -\sqrt{3},4\sqrt{2}\right) }$

c) le vecteur accélération a pour coordonnées $x$
et $y$ avec :

$x"=\frac{\left[ 4\cos \left( 2t\right) \ast \cos {{}^2} \left( 2t\right) +2\cos 2t.2\sin \left( 2t\right) .2\sin \left( 2t\right) \right] }{\cos ^{4}\left( 2t\right) }$

$x"=\frac{-4\cos \left( 2t\right) \left( \cos {{}^2} \left( 2t\right) +\sin {{}^2} \left( 2t\right) \right) }{\cos ^{4}\left( 2t\right) }$

$x"=\frac{-4}{\cos ^{3}\left( 2t\right) }$

$y"=\sqrt{2}\left( 2\tan \left( 2t\right) \right) .\left( 2\left( 1+\tan {{}^2} \left( 2t\right) \right) \right)$

$y"=4\sqrt{2}.\tan \left( 2t\right) \left( 1+\tan {{}^2} \left( 2t\right) \right)$

On a : $\overrightarrow{V}.\overrightarrow{y}$ $=\frac{8\sin \left( 2t\right) }{\cos ^{5}\left( 2t\right) }+8\tan \left( 2t\right) \left( 1+\tan {{}^2} \left( 2t\right) \right) {{}^2}$

On a : $\overrightarrow{V}.\overrightarrow{y}>0$ donc le mouvement de $M$ est accéléré.

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