2003 : Courbe paramétrée

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Courbes Planes

2003 : Courbe paramétrée

Terminale S1 et S3

2003 : Courbe paramétrée

Détails: Catégorie : Courbes Planes

Dans le plan orienté, (C) est le cercle trigonométrique. A tout point m de (C) on associe le point M symétrique du point A d'affixe 1 par rapport à la tangente en m au cercle (C). On cherche à construire l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ lorsque $m$ décrit $(C)$ .

1) Montrer que l'axe des abscisses est un axe de symétrie de $(\Gamma)$ .

2) Pour un point $m$ de $(C)$ , soit $t$ une mesure de l'angle $\widehat {(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{Om})}$ . Montrer que les coordonnées $x(t)$ et $y(t)$ de $M$ sont telles que:

$\left\{ \begin{array}{rrrrr} x(t)=2\cos t-\cos2t \\ y(t)=2\sin t-\sin2t \\ \end{array} \right.\qquad (1)$

3) On doit donc construire la courbe paramétrée $(\Gamma)$ dont $(1)$ est système d'équations paramétriques le réel $t$ parcourant $\mathbb{R}$

a) Etudier les variations de $x(t)$ et de $y(t)$ , sur $\left[ 0,\pi\right]$

b) Montrer que pour tout $t\neq0$ , un vecteur directeur de la tangente en $M$ à $(\Gamma)$ est $\vec{u}(\cos\frac{3t}{2},\sin\frac{3t}{2}).$

c) Soit $M$ un point de $(\Gamma)$ de paramètre $t$ ; $a(t)$ le coefficient directeur de la droite $(AM)$ . Déterminer la limite $a_{0}$ de $a(t)$ lorsque $t$ tend vers $0$ . (On admettra que $a_{0}$ est la pente de la tangente en $A$ à $(\Gamma)$ )

d) Déterminer tous les points où la tangente est parallèle à un des axes du repère.

4) Tracer la courbe $(\Gamma)$ .

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