2006 : Courbe paramétrée

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Terminale S1S3

Sciences de la Vie et de la Terre

Tissu nerveux et propriétés

Corrigé épreuve 2008: exploitation de documents

Terminale S1 et S3

2006 : Courbe paramétrée

Détails: Catégorie : Courbes Planes

1) On considère l'équation différentielle: $y\prime+y=\frac{e^{-x}\cos x}{2+\sin x}$ $(E)$

f étant une fonction numérique dérivable sur $\mathbb{R}$ , on pose: $g(x)=e^{x}f(x)$

a) Montrer que f est solution de $(E)$ si et seulement si $g\prime(x)=\frac{\cos x}{2+\sin x}.$

b) Déterminer la solution générale de $(E)$ , en déduire la solution de $(E)$ qui s'annule en 0.

2) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct, on considère la courbe $(\Gamma)$ d' équations paramétriques :

$\left\{ \begin{array}{rrrrr} x(t) & = & \ln(2+\sin t) \\ & & & ; t\in \mathbb{R} \\ y(t) & = & \ln(2+\cos t) \end{array} \right.$

a) Comparer $M(t)$ et $M(t+2\pi)$ ainsi que $M(t)$ et $M(-t+\frac{\pi}{2})$

b) En déduire que la symétrie orthogonale d'axe la première bissectrice conserve $(\Gamma)$ et montrer que pour construire $(\Gamma)$ , il suffit d' étudier $x$ et $y$ dans $\left[ \frac{\pi}{4};\frac{\pi} {4}+\pi\right]$

c) Dresser le tableau de variations des fonctions $x$ et $y$ dans $\left[\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right]$ et tracer la courbe $(\Gamma)$ .

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