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Corrigé Epreuve 2005 : Courbe paramétrée

Détails: Catégorie : COURBES PLANES

$x=f(t)=\frac{-t^{~2}}{~2}+t \\ \\y=g(t)=\frac{t^{~2}}{~2}+t$

$f$ et $g$ sont des fonctions polynômes donc elles sont continues et
dérivables sur $\mathbb{R} .$

On a:
$x^{\prime}=-t+1 \\y^{\prime}=t+1$

le tableau des variations de $x$ et $y$ est donnée par:

b) Soit $A\left( \frac{~-3}{~2},-\frac{~1}{~2}\right) =A\left( -1\right)$
et $B\left( \frac{~1}{~2},\frac{~3}{~2}\right) =B\left( 1\right)$

la tangente en $A$ à $\left( C\right)$ est parallèle à $Ox$

la tangente en $B$ à $\left( C\right)$ est parallèle à $Oy$

c) Précisons $C\cap\left( Oy\right) ?$

posons $x=0\iff t=0$ ou $t=2$

$C\cap\left( Oy\right) =\left\{ 0(0,0);C\left( 0,4\right) \right\}$

$t=0,\left[ ~x^{\prime}=1~et~y^{\prime}=1\right]$ la tangente en O est
dirigée par le vecteur $\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$

$t=2,~\left[ x^{\prime}=-1~et~y^{\prime}=2\right]$ la tangente en C à
$\left( C\right)$ est dirigée par le vecteur $-\overrightarrow {i}+2\overrightarrow{j}$

Précisons $C\cap\left( Ox\right)$

$y=0$ donne $\ t=0$ ou $t=-2$

Si $t=0,$ alors $x=0\\y=0$

et si $t=-2,~$ alors $x=-4\\y=0$

$C\cap\left( Ox\right) =\left\{ O(0,0);D\left( -4,0\right) \right\}$

$t=-2$ , $x\prime=3$ et $y\prime=-1.$

En $D$ la tangente est dirigée par le vecteur $3\overrightarrow {i}-\overrightarrow{j}$

a) $Z=(1+i)z$

l'écriture complexe de $s$ est celle d'une similitude plane directe

$a=1+i,b=0,$

$\left\vert a\right\vert =\sqrt{2}$ et $\arg(a)=\frac{~\pi}{~4}$

l'affixe du centre est 0

$s=s\left( O,\sqrt{2},\frac{~\pi}{~4}\right)$

b) $X+iY=(1+i)(x+iy)$

où $z=x+iy$ , x et y réels

$X+iY=x+iy+ix-y$

$X+iY=x-y+i(y+x)$

$X=x-y$ et $Y=x+y$

c) $X=x-y\\Y=x+y$

$X=\left( \frac{~-t^{~2}}{2}+t\right) -\left( \frac{~t^{~2}}{2}+t\right)\\Y=\left( \frac{~-t^{~2}}{2}+t\right) +\left( \frac{~t^{~2}}{2}+t\right)$

$X=-t^{~2}\\Y=2t$

$X=\frac{-Y^2}{~4}\\t=\frac{Y}{2}}$

$X=\frac{Y^2}{4}$

$Y^2=-4X$

d) $\left( L\right) :Y^{~2}=-4X$

$\left( L\right)$ est la parabole de sommet $O$ de paramètre $2$ , de
foyer $F(-1,0)$ et de directrice $(d):X=1$

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