2003 : Courbe paramétrée secours

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Catégorie : COURBES PLANES

Dans le plan muni d'un repère orthonormé , on
considère la courbe définie paramétriquement par :

1) a) Montrer qu'en tout point M(t) de paramètre t de passe une
tangente (T) dont on déterminera les coordonnées d'un vecteur
directeur en fonction de t.

b) Déterminer une équation cartésienne de et en déduire
que est une parabole dont on précisera le foyer et la directrice.

c) Soit m le projeté orthogonal de M(t) sur l'axe des ordonnées et F
le point de coordonnées (2, 0).

Montrer que la tangente à en M(t) est la médiatrice du segment [Fm].

2) On veut démontrer géométriquement certaines proprietés de
la tangente à la parabole en un point M.

a) Soit M un point de distinct de son sommet, la tangente à en
M. on note le point d'intersection de avec la directrice de . A
l'aide de la reflexion d'axe , démontrer que le triangle
est rectangle.

b) Soient et deux tangentes à non parallèles à la
directrice, leur point d'intersection.

En utilisant la composée des reflexions
d'axes et , démontrer que et sont perpendiculaires si et
seulement si appartient à la directrice de .

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