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Corrigé Epreuve 1997 : Tetraedre regulier ( 04 pts)

Détails: Catégorie : Solide dans l’espace

$AB=a$

1) Calculons $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC} .\left( \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right) =\overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$=a {{}^2} c\cos \left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right) -a {{}^2} \cos \left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)$

or

$\cos \left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right) =\cos \left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right) =\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{ 2}$

donc $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$

donc $\left( AC\right)$ et $\left( BD\right)$ orthogonales

2)

a) $\left( P\right)$ le plan passant par $I$ et parallèle à $\left( AC\right)$ et

. La droite qui passe par $I$ et parallèle à $\left( AC\right)$ est contenue dans et coupe le segment $\left[ BC\right]$ en son milieu $J$ .

. de même la droite qui $J$ et parallèle à $\left( BD\right)$ est contenue dans $\left( P\right)$ et coupe le segment $\left[ CD\right]$ en son milieu $K$ ; de même $\left( P\right)$ coupe $\left[ AD\right]$ en $L$ .

donc $\left( P\right)$ coupe $\left[ BC\right]$ , $\left[ CD\right]$ et $\left[ AD\right]$ en leurs milieux respectifs $J,K,L$ .

b) on a : $\left( IJ\right) \parallel \left( AC\right)$ d'où $\left( IJ\right) \parallel \left( KL\right) .\left( 1\right)$

et $\left( KL\right) \parallel \left( AC\right)$

$\left( IL\right)$ $\parallel \left( BD\right)$ d'où $\left( IJ\right) \parallel \left( JK\right) .\left( 2\right)$

et $\left( KL\right) \parallel \left( BD\right)$

(1) et (2) signifient que $IJKL$ est une parallélogramme.

On a : $\left( IJ\right) \parallel \left( AC\right)$ donc $\left( IJ\right) \perp \left( JK\right)$

et $\left( KL\right) \parallel \left( BD\right)$

or $\left( AC\right) \perp \left( BD\right)$

De plus $IJ=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD=JK$

Donc $IJKL$ est un carré

c) G isobarycentre de $A,B,C,D$ .

donc

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{ GD}=\overrightarrow{0}$

$2\overrightarrow{GI}+2\overrightarrow{GK}=\overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GK}=\overrightarrow{0}$

$G$ milieu de $\left[ IK\right]$

de même

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{ GD}=\overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{GAI}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+ \overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$

$2\overrightarrow{GL}+2\overrightarrow{GL}=\overrightarrow{0}$

$G$ milieu de $\left[ LJ\right]$

Conclusion $G$ est le centre de $IJKL$ .

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