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Corrigé Epreuve 1999 : Isométrie dans l’espace (04 pts)

Détails: Catégorie : Application de l’espace

ABCD tétraèdre régulier

1) G centre de gravité du tétraèdre

a) donc $G$ est l'iso barycentre de $A$ , $B$ , $C$ , $D$

D' après l'associativité du barycentre G est barycentre de $(I,2)$

$(J,2)$ c'est à dire $G$ $(IJ)$ et G est barycentre de (K,2) $(L,2)$

donc G $(KL)$ d'où $(IJ)$ $\cap (KL)=G$

b) On a $G$ barycentre de $(H,3)$ $(C,1)$

donc $G,H$ et $C$ sont alignés d'où $(CG)$ coupe $(ABD)$ en $H$ .

2) $S_{1}$ réflexion par rapport au plan $(BIC)$ et réflexion par rapport au plan $(ALC)$

$r=S_{2}\bigcirc S_{1}$

a) on a : $\left. \begin{array}{ccc}AC=CD \\ AB=BD \\ AI=ID\end{array}\right\}$

Donc $(BIC)$ est le plan médiateur du segment $[AD]$ d'où $S_{1}(A)=D$ et $S_{1}(D)=A$

est le plan médiateur de $[BD]$

$\left. \begin{array}{c} BL=LD \\ BA=AD \\ BC=CD \end{array} \right\} donc\left( ALC\right)$

d'où $S_{2}(B)=D$ et $S_{2}(D)=B$

b) $r\left( A\right) =S_{2}\bigcirc S_{1}\left( A\right) =S_{2}(D)$

$r\left( B\right) =S_{2}\bigcirc S_{1}\left( B\right) =S_{2}(D)$

$r\left( C\right) =S_{2}\bigcirc S_{1}\left( C\right) =S_{2}(D)$

$r\left( G\right) =?$

G est milieu de $[KL]$

$r(K)$ est le milieu de $[BC]$ donc $r(K)=J$ ;

$r(L\prime )$ est milieu de $[AD]$ donc $r(L)=I$

$(carr(D)=A)$ donc $r(G)$ est le milieu $[IJ]$ d' où{/tex} $r(G)=G$

c) on a $r(G)=G$ et $r(C)=C$ , $r(A)=B$ $r$ n'est pas l'identité
donc $r$ est une rotation d'axe $(GC)=(CH)$ on oriente $(HC)$ par

l'angle de $r$ est $\left( \overrightarrow{HA},\overrightarrow{HB}\right) = \frac{2\pi }{3}$

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