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Corrigé Epreuve 2000 : Composition de réflexions (04 pts)

Détails: Catégorie : Application de l’espace

1 ) a )

Pour montrer que $(ABG)$ est le plan médiateur des ségments $\left[ ED\right]$ et $\left[ FC\right]$ il suffit de montrer que 3 points non alignés de (ABG) sont équidistants des extrémités

de ces segments on a :

$AD=AE$ comme arête du cube

$BD=BE$ comme diagonale de carrés isométriques

$GE=GD$ pour les mêmes raisons .

Donc $(ABG)$ est le plan médiateur de $\left[ ED\right]$

De même :

$AF=AC$ comme diagonales de carrés isométriques

$BF=BC$ comme arête du cube

$GF=GC$ pour les mêmes raisons

Donc $(ABC)$ est le plan médiateur de $\left[ FC\right]$

b) Pour : les $4$ points $A,B,G,H$ sont invariants

les points $E$ et $D$ sont symétriques

les points $C$ et $F$ sont symétriques

donc le cube est invariant pour $S_{1}$

Pour $S_{2}$ :les 4 points $B,C,H,E$ sont invariants

les points $D$ et $G$ d'une part et $F$ et $A$ d'autre part sont symétriques.donc le cube est invariant par Pour $S_{3}$ : on a

$ID=IC$ comme hypoténuses de triangles rectangles isométriques

$JD=JC$ car $J$ centre de gravité de la face $DCGH$

$OD=OC$ car $o$ centre du cube

Donc $(IOJ)$ est le plan médiateur de $\left[ DC\right]$ qui partage le cube en deux parties isométriques .

Donc dans la réflexion de plan $\left( \overrightarrow{i},o,\overrightarrow{j}\right)$

$S_{3}:$

$A\leftrightarrow B$

$C\leftrightarrow D$

$E\leftrightarrow F$

$G\leftrightarrow H$

Le cube reste invariant .

2-a) $S_{1}$ et $S_{2}$ étant des réflexions $f=S_{1}$
$o$ $S_{2}$ est une rotation dont l'axe est l'intersection des plans de ces réflexions or $(ABG)$ et $(BCH)$ sont des plans distincts ayant en commun les points $B$ et $H$ .

donc $\left( ABC\right) \cap \left( BCH\right) =\left( BH\right)$ d'où f a pour axe $(BH)$ .

$f(A)=S_{1}$ $o$ $S_{2}\left( A\right) =C$

$f(C)=S_{1}$ $o$ $S_{2}$ $\left( C\right) =F$

$f(F)=A$

(ACF) est perpendiculaire à l'axe de la rotation (BH) donc la restriction de f a (ACF) est une rotation de centre le point d'intersection de (BH) et de (ACF) .

Appelons K ce point et l'angle de la rotation .

On a $\left( \overrightarrow{KA};\overrightarrow{KC}\right) =\left( \overrightarrow{KC};\overrightarrow{KF}\right) =\left( \overrightarrow{KF}; \overrightarrow{KA}\right) =\alpha \left( 2\pi \right)$

$\left( \overrightarrow{KA};\overrightarrow{KC}\right) +\left( \overrightarrow{KC};\overrightarrow{KF}\right) +\left( \overrightarrow{KF};\overrightarrow{KA}\right) =3\alpha$

$\left( \overrightarrow{KA};\overrightarrow{KC}\right) +\left( \overrightarrow{KC};\overrightarrow{KF}\right) +\left( \overrightarrow{KF};\overrightarrow{KA}\right) =\left( \overrightarrow{KA}; \overrightarrow{KA}\right) =0\left( 2\pi \right)$

donc $\alpha =\frac{+2\pi }{3}$

3-a) on a : $r=S_{3}$ $o$ $S_{1}$ car les plans $(ABG)$ et $(IOJ)$ sont perpendiculaires et se coupent suivant $(OI)$

$g=r$ $o$ $f=S_{3}$ $o$ $S_{1}$ $o$ $S_{1}$ $o$ $S_{2}$

$=S_{3}$ $o$ $S_{2}$

donc $g$ est une rotation .

b) Les plans des réflexions se coupent suivant $(OJ)$ donc $(OJ)$
est l'axe de $g$ .

En prenant la restriction de $g$ à $(GCD)$ le centre de cette
restriction est $J$ .

$g\left( G\right) =S_{3}$ o $S_{2}\left( G\right) =S_{3}\left[ S_{2}\left( G\right) \right] =S_{3}\left( D\right) =C$

l'angle de la rotation est $\left( \overrightarrow{JG},\overrightarrow{JC} \right)$

En orientant $(GCD)$ par $(OJ)$ on a :

$\left( \overrightarrow{JG},\overrightarrow{JC}\right) =\frac{+\pi }{2}$

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