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corrigé: 2007:Calcule integrale suite

Détails: Catégorie : analyse

PARTIE A :

Soit f une fonction définie sur ${{\left[{1{\mathrm{\mathrm{;}}}{+\infty }}\right[}}$ et ayant une dérivée continue et croissante.Pour tout

${p%élément \mathbb{N}^{%*%} }$ on pose : ${u_{p}= \sum_{n\textrm{=}1}^{p}f'\left( n\right) }$ .

1. Démontrer la reletion suivante :

(0.1) ${\forall n \in \mathbb{N} ^{*} : f'\left( n\right) <=f\left( n+1\right) -f\left( n\right) <=f'\left( n+1\right) }$

a. En appliquant le théorème des accroissements finis à $f$ dans un intervalle bien choisi.

b. En utilisant la valeur moyenne de $f'$ sur ${\left[{{n}{\mathrm{,}}{n}+1}\right]}$ . [On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction continue $g$ sur un intervalle ${\left[{{a}{\mathrm{,}}{b}}\right]}$ est : ${\frac{1}{b-a}int_{a} ^{b} g\left( x\right) dx}$

2. En utilisant la relation (0,1) de la question {{1.}}démontrer que:

(0.2) ${\forall p \in \mathbb{N} ^{*} {\mathrm{;}}u_{p}- f'\left( p\right) <=f\left( p\right) -f\left( 1\right) <=u_{p}-f'\left( 1\right) }$

3. Dans cette question on prend $f\left( x\right) = \frac{1}{x^{2}}$

a. Verifier que la suite $\left( u_{p}\right)$ est monotone.

b. En utilisant la relation (0,2) ,de la question {{2}} montrer que la suite $\left( u_{p}\right)$ est bornée.

c. En deduire que la suite $\left( v_{p}\right)$ de terme général $v_{p}\textrm{=}\sum_{n\textrm{=}1}^{p}{\frac{1}{n^{3}}}$ est convergente et que sa limite appartient à l'intervalle ${[{\frac{1}{2}},{\frac{3}{2}}]}$

4. Dans cette question on prend ${f\left( x\right) =- lnx}$

a. En utilisant la relation (0.2), montrer que $u_{p}<= -{\frac{1}{p}}-\ln p$

b. Montrer que $\lim_{{p}%trèsinférieurà \textrm{+}\infty }{sum} from{n\textrm{=}1} to{p} {\frac{1}{n}} \textrm{=} +\infty$

PARTIE B :
- Calculer pour tout ${n \in \mathbb{N} {\mathrm{,}} \int_{}^{}_{n \pi} ^{\left( n\textrm{+}1\right) \pi}\left|{\sin t }\right|dt }$

a. En effectuant le changement de variable ${N\textrm{=}t-n%pi}$ et en remarquant que la fonction

${bold {{u \to \left|{\sin n}\right| }}}$ est périorique de période ${\pi}$ .

b. En utilisant le résultat admis suivant :

${\forall n%élément setN:forall t%élément[n \pi{\mathrm{,}}\left( n+1\right) \pi]{\mathrm{,}}\left|{\sin t}\right|\textrm{=}\left( -1\right) ^n \sin t }$

2. Pour tout réel ${a }>{ 0}$ , on considère la fonction ${h}_{a}$ définie sur <math> $I{{}\textrm{=}{ {\left[{0{\mathrm{\mathrm{;}}}+\infty}\right[}}}$ par:

${ {h_a\left( t\right) =\left|{\frac{sint at} {t}}\right| }}{\mathrm{,}}{\ \ \textrm{si}\ {t %élément {{\left]{0{\mathrm{\mathrm{\mathrm{;}}}}+\infty}\right[}}{\mathrm{,}}h_a\left( 0\right) =a}}$ .

a. Montrer que les fontions ${h}_{a}$ sont continues sur $I$ .

b. Montrer que :

${\forall n %élément setN: \frac{1}{\left( n+1\right) \pi}int _{n \pi} ^{\left( n\textrm{+}1\right) \pi}\left|{sint }\right|dt \leq \int_{}^{}_{n \pi} ^{\left( n\textrm{+}1\right) \pi} h_1\left( t\right) dt.}$

En déduire que :

(0.3) ${\forall n%élément \frac{setN:2}{\left( n+1\right) \pi} \leq \int_{}^{}_{n \pi} ^{\left( n\textrm{+}1\right) \pi} h_1\left( t\right) dt.}$

3. On veut utiliser les résultats précédents pour calculer ${\lim_{{a}%tend +\infty }{int} _{0}^{\pi} h_{a}\left( t\right) dt.}$

a. En utilisant la relation (0.3) comparer : ${\frac{2}{\pi} \sum_{n\textrm{=}1}^{p}{\frac{1}{n}} et \int_{}^{}_0^{p%pi}h_1\left( t\right) dt.}$

b. Déduire de la question {{4.b. partieA, }} ${\lim_{{p}%tend \textrm{+}\infty }{int} _{0}^{p{\pi}} h_{1}\left( t\right) dt}$

c. Calculer ${\lim_{{x}%tend \textrm{+}\infty }{int} _{0}^{x} h_{1}\left( t\right) dt}$ . [on pourra introduire l'entier ${{p}={E{\left( \frac{x}{\pi}\right) }}}$ ; ou' E désigne la fonction partie entière.]

4. Montrer que :

${\forall a%élément \mathbb{R}_\textrm{+}^\textrm{*} :int _{0}^{\pi} h_{a}\left( t\right) dt\textrm{=}\int_{}^{}_{0}^{a%pi} h_{1}\left( t\right) dt\textrm{=} +\infty }$

En déduire ${\lim_{{a}%tend\textrm{+}\infty }{int} _{0}^{\pi} h_{a}\left( t\right) dt}$

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