2007 : Calcul Integral et suite 9pts

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Calcul intégral

2006 : Calcul intégral et suite

Terminale S1 et S3

2007 : Calcul Integral et suite 9pts

Détails: Catégorie : Calcul intégral

PROBLEME :

PARTIE A :

Soit f une fonction définie sur ${{\left[{1{\mathrm{\mathrm{;}}}{+\infty }}\right[}}$ et ayant une dérivée continue et croissante.Pour tout ${p\in\mathbb{N}^{*}$ on pose : ${u_{p}= \sum_{n\textrm{=}1}^{p}f'\left( n\right) }$ .

1. Démontrer la relation suivante :

(0.1) ${\forall n \in \mathbb{N} ^{*} : f'\left( n\right) \leq f\left( n+1\right) -f\left( n\right) \leq f'\left( n+1\right) }$

a. En appliquant le théorème des accroissements finis à $f$ dans un intervalle bien choisi.

b. En utilisant la valeur moyenne de $f'$ sur ${\left[{{n}{\mathrm{;}}{n}+1}\right]}$ . [On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction continue $g$ sur un intervalle ${\left[{{a}{\mathrm{;}}{b}}\right]}$ est : ${\frac{1}{b-a}\int_{a} ^{b} g\left( x\right) dx}$

2. En utilisant la relation (0.1), de la question 1. démontrer que :

(0.2) ${\forall p \in \mathbb{N} ^{*} {\mathrm{,}}u_{p}- f'\left( p\right) \leq f\left( p\right) -f\left( 1\right) \leq u_{p}-f'\left( 1\right) }$

3. Dans cette question on prend $f\left( x\right) = \frac{1}{x^{2}}$

a. Vérifier que la suite $\left( u_{p}\right)$ est monotone.

b. En utilisant la relation (0.2) ,de la question 2 montrer que la suite $\left( u_{p}\right)$ est bornée.

c. En déduire que la suite $\left( v_{p}\right)$ de terme général $v_{p}\textrm{=}\sum_{n\textrm{=}1}^{p}{\frac{1}{n^{3}}}$ est convergente et que sa limite appartient à l'intervalle $\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]$

4. Dans cette question on prend ${f\left( x\right) =- lnx}$

a. En utilisant la relation (0.2), montrer que $u_{p} \leq -{\frac{1}{p}}-\ln p$

b. Montrer que $\lim_{p \rightarrow +\infty} \sum_{n=1}^{p} {\frac{1}{n}}=+\infty$

PARTIE B :

1. Calculer pour tout $n \in \mathbb{N}^*, \int_{n \pi}^{(n+1) \pi} {\left| sin t \right|dt}$

a. En effectuant le changement de variable $u=t-n\pi$ et en remarquant que la fonction

$u \to \left|{\sin n}\right|$ est périodique de période $\pi$ .

b. En utilisant le résultat admis suivant :

$\forall n \in \mathbb{N}, \forall t \in \left[n \pi, \left( n+1\right) \pi \right],\left|sin t \right| = \left( -1\right) ^n sin t$

2. Pour tout réel $a > 0$ , on considère la fonction ${h}_{a}$ définie sur $I{{}\textrm{=}{ {\left[{0{\mathrm{\mathrm{;}}}+\infty}\right[}}}$ par :

$h_a\left( t\right) =\left|{\frac{sin at} {t}}\right| }},\quad si \quad t \in \left]0;+\infty \right[,et h_a \left( 0\right) =a$ .

a. Montrer que les fonctions ${h}_{a}$ sont continues sur $I$ .

b. Montrer que :

${\forall n \in \mathbb{N}^* : \frac{1}{\left( n+1\right) \pi}\int _{n \pi} ^{\left( n+1\right) \pi}\left|{sint }\right|dt \leq \int_{n \pi} ^{\left( n+1\right) \pi} h_1\left( t\right) dt.} \leq \frac{1}{n \pi}\int _{n \pi} ^{\left( n+1\right) \pi}\left|{sint }\right|dt$

et $\frac{1}{ \pi}\int _{0} ^{\pi}\left|{sint }\right|dt \leq \int _{0} ^{\pi}h_1(t)dt$

c. En déduire que :

(0.3) ${\forall n \in \mathbb{N}^*: \frac{2}{\left( n+1\right) \pi} \leq \int_{n \pi} ^{\left( n+1\right) \pi} h_1\left( t\right) dt} \leq \frac{2}{n\pi}$

et $\frac{2}{\pi} \leq \int_{0}^{\pi}h_1(t)dt$

3. On veut utiliser les résultats précédents pour calculer $lim_{a \rightarrow +\infty }\int _{0}^{\pi} h_{a}\left( t\right) dt$

a. En utilisant la relation (0.3) comparer : $\frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{p}\frac{1}{n}$ et $\int_0^{p\pi}h_1\left( t\right) dt$

b. Déduire de la question 4.b. partie A, $lim_{p \rightarrow +\infty} \int _{0}^{p\pi}h_{1}\left( t\right) dt$

c. Calculer $\lim_{x \rightarrow+\infty} \int} _{0}^{x} h_{1}\left( t\right) dt$ . [on pourra introduire l'entier $p=E\left( \frac{x}{\pi}\right)$ ; où E désigne la fonction partie entière.]

4. Montrer que :

$\forall a \in \mathbb{R}_{+}^{*} : \int _{0}^{\pi} h_{a}\left( t\right) dt = \int_{0}^{a \pi} h_{1}\left( t\right) dt$

En déduire $lim_{a \rightarrow+\infty}\int_{0}^{\pi} h_{a}\left( t\right) dt$

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