terminales.examen.sn

Vous êtes ici : Accueil

Corrigé : 2004: Utilisation du calcul intégral dans les suites

Détails: Catégorie : analyse

$u_{n}=2+2\sum_{1}^{n}{\frac{(-{1})^{k}}{2k+1}}$

Or $\frac{(-{1})^{k}}{2k+1}=\int_{0}^{1}{\left( -t^{2}\right) ^{k}\mathit{dt}}$

donc $u_{n}=2\int_{0}^{1}{\left( -t^{2}\right) ^{0}\mathit{dt}}+2\sum_{1} ^{n}{\int_{0}^{1}{\left( -t^{2}\right) ^{k}\mathit{dt}}}=2\int_{0}^{1}{\left( \sum_{0}^{n}\left( -t^{2}\right) ^{k}\right) \mathit{dt}}$

Or $\sum_{0}^{n}\left( -t^{2}\right) ^{k}=\frac{1-\left( -t^{2}\right) ^{n+1}}{1+t^{2}}=\frac{1+\left( -1\right) ^{n}t^{2n+2}}{1+t^{2}}$

donc $u_{n}=\int_{0}^{1}{2\left( \frac{1+\left( -1\right) ^{n}t^{2n+2} }{1+t^{2}}\right) \mathit{dt}}$

$u_{n}-2\int_{0}^{1}{\frac{1}{1+t^{2}}}\mathit{dt}=2\int_{0}^{1} {\frac{\left( -1\right) ^{n}t^{2n+2}}{1+t^{2}}\mathit{dt}}$

$\left\vert {u_{n}-2\int_{0}^{1}{\frac{1}{1+x^{2}}}\mathit{dx}}\right\vert =2\int_{0}^{1}{\frac{x^{2n+2}}{1+x^{2}}\mathit{dx}}$

Or $0\leq x\leq1$

$1\leq x^{2}+1\leq 2$

$\frac{1}{2}\leq\frac{1}{x^{2}+1}\leq1$

d' où $\frac{t^{2n+2}}{1+t^{2}}\leq t^{2n+2}$

donc $\left\vert {u_{n}-2\int_{0}^{1}{\frac{1}{1+x^{2}}}\mathit{dx} }\right\vert \leq2\int_{0}^{1}{x^{2n+2}\mathit{dx}}$

Or

$\int_{0}^{1}t^{2n+2}\mathit{dt}=\left[ \frac{t^{2n+3}}{2n+3}\right] _{0}^{1}=\frac{1}{2n+3}$

d'où $\left\vert {u_{n}-2\int_{0}^{1}{\frac{1}{1+x^{2}}}\mathit{dx} }\right\vert \leq\frac{2}{2n+3}$

2)

Soit $J=\int_{0}^{1}\varphi(x)\mathit{dx}$ avec $\ \varphi(x)=\frac {1}{1+x^{2}}$

$F{\prime}(x)=\varphi(x),x\in\mathbb{R}$

$F(0)=0$

$G(v)=F(tanv)$

a)

Montrer que G dérivable sur $\left] \frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$

$v\ \ {\longmapsto}tanv$ dérivable sur $\left] \frac{-\pi}{2},\frac{\pi }{2}\right[$ et \`{a} valeurs dans $\mathbb{R}$

or x ${\longmapsto}$ F(x) dérivable sur $\mathbb{R}$

donc par composition $v\longmapsto F(tanv)$ dérivable sur $\mathbb{R}$

Calcul de $G{\prime}(v)$

$G$ ' $(v)=(\tan v)$ ' $\times F$ ' $(\tan v)$

$G$ ' $(v)=(1+\tan^{2}v)\varphi(\tan v)$ avec $\varphi(\tan v)=\frac {1}{1+\tan^{2}v}$

donc $G$ ' $(v)=1$

donc $G(v)=v+c$

avec $G(0)=F(\tan0)=0$

donc $0+c=0$ soit $c=0$

$G(v)=v$

b)

$J=F(1)=F\left( \tan\frac{\pi}{4}\right)$

$J=G\left( \frac{\pi}{4}\right) =\frac{\pi}{4}$

donc $\left\vert {u_{n}-\frac{2\times\pi}{4}}\right\vert \leq\frac{2}{2n+3}$

ainsi $\left\vert {u_{n}-\frac{2\times\pi}{4}}\right\vert \leq \frac{2}{2n+3}\qquad et\qquad\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{2}{2n+3}=0$ $\hfill$

d' où $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{n}=\frac{\pi}{2}$

EXAMEN.SN V2.0 © RESAFAD SENEGAL Creative Commons License - Avenue Bourguiba x rue 14 Castors, Dakar (Sénégal) - Tél/Fax : +221 33864 62 33