2004 :Utilisation du calcul intégral dans les suites

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Corrigé Epreuve 1998 : Je n’ai plus que les os (Ronsard-Derniers vers)

Terminale S1 et S3

2004 :Utilisation du calcul intégral dans les suites

Détails: Catégorie : Calcul intégral

Utilisation du calcul intégral dans les suites

Pour tout entier naturel $n>1$ on pose : $u_{n}=2+2\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{2k+1}$

b) Etablir que $\left\vert u_{n}-2\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}dx\right\vert\leq\frac{2}{2n+3}$

2) soit $J=\int_{0}^{1}\varphi(x)dx$ avec $\varphi(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$ . On désigne par F la primitive de $\varphi$ nulle en o et soit G la fonction numérique définie sur $\left] \frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[$ par $G(v)=F(\tan v).$

a) Montre que G est dérivable et déterminer sa dérivée G'.

Quelle est la valeur de G ?

b) En déduire la valeur de J puis montrer que la suite u $_{n}$ est convergente et calculer sa limite.

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