2003 : Utilisation du calcul intégral dans les suites

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Catégorie : Calcul intégral

Soit n un entier naturel non nul. On considère les fonctions et définies par:

1) justifier l'existence de chacune des intégrales suivantes:

et

2) a) Calculer pour tout , en fonction de ;

puis pour ,

b) En déduire que

3) Soit (c'est à dire que x est un réel non multiple de

a) On pose Exprimer en fonction de la somme

b) Vérifier que

c) En déduire que

4) En utlisant et , montrer que :

Calculer et en déduire la valeur de

5) Démontrer que pour tout on a :

Pour cela, on pourra utiliser la relation: valable
pour tout x de

6) On pose pour tout En utilisant le changement de variable , donner une

autre expression de

Déduire à l'aide de (3) que la suite () est convergente et
donner sa limite.

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