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Corrigé 2005 : Détermination des caractéristiques d’une bobine

Détails: Catégorie : Oscillations électriques

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3.1 :

La tension efficace aux bornes de la bobine est U = 220 V

On utilise $Z=\frac{U}{I}$ pour compléter le tableau.

f(Hz)	50	100	150	200	250	300	350	400	450	500	550	600	650
I(A)	2,10	1,80	1,60	1,37	1,18	1,03	0,91	0,81	0,73	0,67	0,61	0,56	0,52
Z(Ω)	104,76	122,22	137,50	160,58	186,44	213,59	241,76	271,60	301,37	328,36	360,66	392,86	423,08
Z²(Ω ²)	1,10.10⁴	1,49.10⁴	1,89.10⁴	2,58.10⁴	3,48.10⁴	4,56.10⁴	5,84.10

3.2 :

L’expression de l’impédance Z d’une bobine de résistance r et de coefficient d’auto –inductance L est :

$Z = \sqrt{r^{2}+(2\pi fL)^{2}}$

3.3 :

$Z^{2} = r^{2}+ 4\pi^{2} L^{2} f^{2}$

Si f = 0 alors $Z_{0}^{2} = r^{2}= 1.10^{4}$ soit $r= \sqrt{1.10^{4}}= 100 \Omega$

Aussi la pente de la courbe est égale à $4\pi^{2} L^{2}$ soit :

$4\pi^{2} L^{2} = \frac{(1,66 - 0,1) .10^{5}}{3,54.10^{5} – 0} = 0,44$

D’où $L=\frac{1}{2\pi}\sqrt{0,44} = 0,1 H$

3.4 :

Lorsqu’un circuit est parcouru par un courant i(t), il développe dans l’espace environnant un champ d’induction B(t) et à travers le circuit un flux $\Phi(t)$ , dit flux propre, proportionnel à i(t) : $\Phi(t) = Li(t)$

Le coefficient de proportionnalité L est par définition le coefficient d’auto – inductance du circuit.

3.5 :

On sait que $\Phi(t) = NBS$ avec :

B le champ magnétique créé par le solénoïde : $B=\mu_{0}ni=\mu_{0}\frac{N}{l}i$

S est la surface d’une spire : $S=\pi\frac{D^{2}}{4}$

Donc $\Phi(t)=\mu_{0}\frac{N^{2}\pi D^{2}}{4l}i$ et $L=\frac{\Phi(t)}{i}=\mu_{0}\frac{N^{2}\pi D^{2}}{4l}$

A.N : $L = 4\pi .10^{-7}\frac{1743^{2}\pi \times 0,1^{2}}{4 \times 0,3} = 0,1 H$

3.6 :

Bobine : r = 100 $\Omega$ et L = 0,1 H

Conducteur ohmique : R = 65,6 $\Omega$

Condensateur : C = 10 µ F

3.6.1 :

Soit $\Phi_{1}(t)$ le déphasage entre la tension u aux bornes de l’association par rapport à l’intensité i du courant alors :

$\tan \Phi_{1} = \frac{\left( L\omega - \frac{1}{ C\omega} \right)}{R+r}=\frac{\left( 0,1 \times 100\pi - \frac{1}{ 10^{-5}\times 100\pi } \right) }{65,6 + 100}= - 1,73$

Soit $\Phi_{1} = - 1,05 rad$ et $\Phi = - \Phi_{1} = 1,05 rad$

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3.6.2 :

Expression de la tension aux bornes de la bobine en fonction du temps :

$u_{b}(t)=Z_{b}I\sqrt{2}cos(100\pi t + \phi)$

Avec :

$Z_{b}=\sqrt{r^{2}+(L\omega)^{2}}= \sqrt{100^{2}+(0,1 \times 100 \pi)^{2}}= 104,8 \Omega$

$I = \frac{U}{\sqrt{(R+r)^{2}+\left( L\omega - \frac{1}{C\omega} \right) ^{2}}} = \frac{220}{\sqrt{(65,6+100)^{2}+\left( 0,1\times 100\pi - \frac{1}{1.10^{-5}\times 100\pi } \right) ^{2}}} = 0,66 A$

$tan\phi = \frac{L\omega}{r} = \frac{0,1\times 100\pi }{100}= 0,31$ soit $\phi = 0,3 rad$

Donc $u_{b}(t)= 69,61\sqrt{2}cos(100\pi t + 0,3)$

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