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Corrigé 2005 : Oscillation de la molécule de chlorure d’hydrogène

Détails: Catégorie : Mécanique

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$k = 35 N.m^{{-1}}$

$m = 150 g = 0,15 kg$

A la date $t = 0, x_{0} = - 5.10^{-2}m$ et $v_{0} = 0$ .

3.1.1:

système matériel = {bille}

Bilan des forces qui s'exercent sur la bille :

$\overLongrightarrow{{P}}$ : poids de la bille

$\overLongrightarrow{{R}}$ : réaction du support

$\overLongrightarrow{{T}}$ : tension du ressort

Référentiel : terrestre

Appliquons le théorème du centre d'inertie sur la bille :

$\overLongrightarrow{{P}}$ + $\overLongrightarrow{{R}}$ + $\overLongrightarrow{{T}}$ = $m\overLongrightarrow{{a}}$ (1)

Projection de la relation (1) sur l'axe des x donne :

$T = ma {\LongLongrightarrow }$ $-\mathit{kx}=m\frac{d^{2}x}{\mathit{dt}^{2}}$ ${\LongLongrightarrow }$ ${m}\frac{{d}^{2}{x}}{{dt}^{2}}+{kx}=0$ est l'équation différentielle du mouvement de la bille.

3.1.2:

- Etablissement de l'équation horaire du mouvement

La solution générale de l'équation différentielle est de la forme : $x(t) = x_{m}\cos(\omega t + \phi)$

On sait que $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{35}{0,15}}=15,28\mathit{rad.s}^{-1}$

à t = 0, on avait $x = x{}_{\text{0}}$ soit $x_{0} = x{tex}{}_{\text{m}}$ cos ${\phi }$ (2)

aussi à t = 0, on avait $v{}_{\text{0}}$ = 0 donc $0 =- x_{m}\omega\sin{\phi}$ ${\LongLongrightarrow }$ } $\sin{\phi }=0 {tex}\LongLongrightarrow \phi =0$ ou $\phi=\pi$

(2) $\LongLongrightarrow$ cos ${\phi }$ = $\frac{x_{0}}{x_{m}}$ $\LongLongrightarrow$ cos ${\phi }<$ 0 car $x_{0}< 0$ et $x}_{m} > 0$

donc ${\phi }={\pi }$ et $cos{\phi }$ = $\frac{x_{0}}{x_{m}}$ $\LongLongrightarrow }$ $\frac{{x}_{0}}{{x}_{m}} =-1$ d'où $x_{m} = - x_{0} = 5 cm$

L'équation horaire du mouvement est donc $x(t) = 5.10}^{-2}\cos(15,28t + \pi )$

- Détermination de la date à laquelle la bille passe pour la troisième fois à l'abscisse

$x = 2,5 cm$ en allant dans le sens négatif des élongations.

$x = 2,5 cm \Longrightarrow$ 5.10 $^{-2}$ cos(15,28t + $\pi =2,5.10^{-2} \Longrightarrow \cos(15,28t +\pi) = 0,5$

$\Longrightarrow\cos(15,28t + \pi) =\cos\frac{\pi }{3}\Longrightarrow (15,28t + \pi = {tex}\frac{\pi }{3}$

$+ 2k{\pi }$ ou $15,28t + \pi = - \frac{\pi }{3} + 2k\pi (3)$

Aussi le mobile se dirige vers le sens négatif donc $v {{<}0$ donc :

${{}- 15,28\times 5.10^{-2}\sin(15,28t +\pi)<0 \Longrightarrow \sin(15,28t + \pi ) > 0 \Longrightarrow$

$0<15,28t +\pi < \pi$ }

(3) $\Longrightarrow 15,28t + \pi = \frac{\pi }{3} + 2k\pi\LongLongrightarrow 15,28t = \frac{\pi }{3}- \pi+ 2k\pi\longLongrightarrow 15,28t = - \frac{2\pi }{3} + 2k\pi$

$\Longrightarrow t = - \frac{2\pi }{3\times 15,28} + \frac{2k\pi }{15,28}$

si $k = 0$ alors $t < 0$ : impossible.

si $k = 1$ alors $t > 0$ : premier passage donc le troisième passage correspond à $k = 3$ soit :

$t = - \frac{2\pi }{3\times 15,28}$ + $\frac{2\times 3\pi }{15,28}$ = $\frac{16\pi }{3\times 15,28} = 1,1 s$

3.2:

3.2.1: Le système matériel {palets + ressort} n'est pas soumis à des forces extérieures donc son centre d}inertie G a un mouvement rectiligne uniforme. Or G est immobile à l'instant initial donc il reste fixe au cours du mouvement du système.

3.2.2:

Appliquons la relation barycentrique au système :

$m_{1}\overLongrightarrow{{GG_{1}}}+m_{2}\overLongrightarrow{{GG_{2}}}=\overLongrightarrow{{0}}$ ${\Longrightarrow}$ $m_{1}\left(\overLongrightarrow{{GO_{1}}}+\overLongrightarrow{{O_{1}G_{1}}}\right)+m_{2}\left(\overLongrightarrow{{GO_{2}}}+\overLongrightarrow{{O_{2}G_{2}}}\right)=\overLongrightarrow{{0}}$ (4)

Or ${m}_{1}\overLongrightarrow{{GO_{1}}}+{m}_{2}\overLongrightarrow{{GO_{2}}}=\overLongrightarrow{{0}}$ relation barycentrique à l'équilibre}

(4) ${\Longrightarrow }$ $m_{1}\overLongrightarrow{{O_{1}G_{1}}}+m_{2}\overLongrightarrow{{O_{2}G_{2}}}=\overLongrightarrow{{0}}$ ${\Longrightarrow }$ ${tex}m_{1}x_{1}\overLongrightarrow{i}+m_{2}x_{2}\overLongrightarrow{i}=\overLongrightarrow{{0}}$ ${\Longrightarrow }$ $m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}=0 (5)$

3.2.3:

système matériel = {palet1}

Bilan des forces :

$\overLongrightarrow P$ : poids du palet

$\overLongrightarrow{R}$ : réaction du support

$\overLongrightarrow{T}$ : tension du ressort

Référentiel : terrestre

Appliquons le théorème du centre d'inertie sur la bille :

$\overLongrightarrow{{P}}$ + $\overLongrightarrow{{R}}$ + $\overLongrightarrow{{T}}$ = $m_{1}\overLongrightarrow{{a}}$

Projection de la relation (5) sur l'axe des x donne :

$\overLongrightarrow{{T}} = m_{1}\overLongrightarrow{{a}}\Longrightarrow - k \left( \overLongrightarrow{{G_{2}G_{1}}}-\overLongrightarrow{{O_{2}O_{1}}}\right) = m_{1}\overLongrightarrow{a}\Longrightarrow - k \left( \left( \overLongrightarrow{{G_{2}O_{2}}}+\overLongrightarrow{{O_{2}O_{1}}}+\overLongrightarrow{{O_{1}G_{1}}}\right) -\overLongrightarrow{{O_{2}O_{1}}}\right) = m_{1}\overLongrightarrow{{a}}{\Longrightarrow } - k \left( \overLongrightarrow{{G_{2}O_{2}}}+\overLongrightarrow{{O_{1}G_{1}}}\right) = m_{1}\overLongrightarrow{{a}}$

${\Longrightarrow }$ - k $\left( \overLongrightarrow{{O_{1}G_{1}}}-\overLongrightarrow{{O_{2}G_{2}}}\right)$ = $m_{1}\overLongrightarrow{{a}}$ ${\Longrightarrow }$ - k $\left( x_{1}-x_{2}\right)$ = $m_{1}a$ (6)}

(5) {et (6) ${\Longrightarrow }$ - k $\left( x_{1}+\frac{m_{1}}{m_{2}}x_{1}\right)$ = $m_{1}a$ ${\Longrightarrow }$ $m_{1}\frac{d^{2}x_{1}}{\mathit{dt}^{2}}$ + k $\left( x_{1}+\frac{m_{1}}{m_{2}}x_{1}\right)$ = 0 }

${\Longrightarrow }$ $\frac{d^{2}x_{1}}{\mathit{dt}^{2}}$ + $\frac{k}{m_{1}}\left( 1+\frac{m_{1}}{m_{2}}\right) x_{1}$ = 0 ${\Longrightarrow }$ $\frac{d^{2}x_{1}}{\mathit{dt}^{2}}$ + $k\left( \frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right) x_{1}$ = 0 est l'équation différentielle du mouvement du palet 1.

Avec un raisonnement analogue sur le palet 2, on arrive à $\frac{d^{2}x_{2}}{\mathit{dt}^{2}}$ + $k\left( \frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right) x_{2}$ = 0

La période d'oscillation du système est : $T=\frac{2\pi }{\sqrt{k\left( \frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right) }}$

3.2.4: Application numérique

$T=\frac{2\pi }{\sqrt{4,61.10^{2}\left( \frac{1}{1,66.10^{-27}}+\frac{1}{58,13.10^{-27}}\right) }}=1,18.10^{-14}s$

$N=\frac{1}{T}=\frac{1}{1,18.10^{-14}}=8,51.10^{13}\mathit{Hz}$

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