1998 : Similitude directe ( 05 pts)

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Essentiel du cours

Calcul intégral

Propriétés des intégrales de fonctions paires, impaires périodiques

Terminale S1 et S3

1998 : Similitude directe ( 05 pts)

Détails: Catégorie : géométrie plane

Dans le plan orienté (P), on donne deux points distincts $O_{1}$
et $O_{2}$ on désigne par $r_{1}$ la rotation de centre $O_{1}$ et
d'angle $\frac{\pi }{3}$ et par $r_{2}$ la rotation de centre $O_{2}$ et d'angle $\frac{2\pi }{3}$ .

Pour tout point M de (P), on note l'image de M_{1} par r_{1} et $M_{2}$ l'image de $M_{1}$ par $r_{2.}$

1) a) Démontrer que le milieu J du segment $\left[ MM_{2}\right]$ est un point fixe par $r_{2}Or_{1}$

b) Construire soigneusement J et prouver que J est situé sur le cercle de diamètre $\left[ O_{1}O_{2}\right]$ .

(On prendra $O_{1}O_{2}=10cm$ )

2) Soit H le projeté orthogonal de $O_{1}$ sur la droite $(MM_{1})$ .

a) Préciser les éléments caractéristiques de la similitude directe s de centre $O_{1}$ qui transforme H et M.

b) Démontrer que $M,M_{1,}M_{2}$ sont alignés si et seulement si H est situé sur le cercle de diamètre $\left[ O_{1}J\right]$ .

c) En déduire l'ensemble (C) des points M du plan (P) pour lesquels $M,M_{1,}M_{2}$ sont alignés.

3) a) Exprimer M₁M en fonction de O₁M₁ puis M₁M₂en fonction de O₂M₂ .

b) Où se situe M₁lorsque l'on a l' $\acute{e}$ galit $\acute{e}$
$M_{1}M_{2\text{ \ }}=\sqrt{3}M_{1}M$

c) Trouver $\left( \Delta \right)$ ensemble des points du plan $(P)$ tels
que $M_{1}M_{2\text{ \ }}=\sqrt{3}M_{1}M$ Dans le plan orient $\acute{e}$ $(P)$ , on donne deux points distincts $O_{1}$

et $O_{2}$ on d $\acute{e}$ signe par $r_{1}$ la rotation de centre $O_{1}$ et

d'angle $\frac{\pi }{3}$ et par $r_{2}$ la rotation de centre $O_{2}$ et d'angle $\frac{2\pi }{3}$ .

Pour tout point $M$ de $(P)$ , on note l'image de $M_{1}$ par $r_{1}$ et $M_{2}$ l'image de $M_{1}$ par $r_{2.}$

1) a) Démontrer que le milieu $J$ du segment $\left[ MM_{2}\right]$ est un point fixe par $r_{2}Or_{1}$

b) Construire soigneusement $J$ et prouver que $J$ est situé sur
le cercle de diamètre $\left[ O_{1}O_{2}\right]$ .

(On prendra $O_{1}O_{2}=10cm$ )

2) Soit $H$ le projeté orthogonal de $O_{1}$ sur la droite $(MM_{1})$ .

a) Préciser les éléments caractéristiques de la similitude directe s de centre $O_{1}$ qui transforme H et M.

b) Démontrer que $M,M_{1,}M_{2}$ sont alignés si et seulement si H est situé sur le cercle de diamètre $\left[ O_{1}J\right]$ .

c) En déduire l'ensemble (C) des points M du plan (P) pour lesquels $M,M_{1,}M_{2}$ sont alignés.

3) a) Exprimer $M_{1}M$ en fonction de $O_{1}M_{1}$ puis $M_{1}M_{2\text{ \ } }$ en fonction de $O_{2}M_{2}$ .

b) Où se situe $M_{1}$ lorsque l'on a l'égalité $M_{1}M_{2\text{ \ }}=\sqrt{3}M_{1}M$

c) Trouver $\left( \Delta \right)$ ensemble des points du plan (P) tels que $M_{1}M_{2\text{ \ }}=\sqrt{3}M_{1}M$

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