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Corrigé 2003 : Etude du mouvement de la navette spatiale DISCOVERY

Détails: Catégorie : Mécanique

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4.1 :

Système matériel : satellite

Référentiel : géocentrique

Bilan des forces : $\overrightarrow{F} = m \overrightarrow{G}_{1}$ (1)

Théorème du centre d’inertie : $\overrightarrow{F} = m \overrightarrow{a}$ (2)

Repère de Frenet

(1) et (2) \Longrightarrow $m \overrightarrow{G}_{1} = m \overrightarrow{a}$ \Longrightarrow $m G_{1}\overrightarrow{u}_{n} = m (a_{n} \overrightarrow {u}_{n} + a_{t} \overrightarrow {u}_{t})$

Donc $a_{t} = 0$ $\Longrightarrow$ $\frac{dv}{dt} = 0$ $\Longrightarrow$ v est constante

Le mouvement du satellite est uniforme.

4.2 :

$m G_{1}\overrightarrow{u}_{n} = m a_{n} \overrightarrow {u}_{n} \rightarrow G_{1} = a_{n} \rightarrow G\frac{M}{r^{2}}= \frac{v^{2}}{r} \rightarrow v = \sqrt{\frac{MG}{r}}$

On sait que $T=\frac{2\pi r}{v} \rightarrow 2\pi r \times \sqrt{\frac{r}{MG}}$

Soit $T= 2\pi \times \sqrt{\frac{r^{3}}{MG}}$

4.3.1 :

$v = \sqrt{\frac{5,97.10^{24}\times 6,67.10^{-11} }{(6370+296).10^{3}}} = 7,73.10^{3} m/s$

$T=\frac{2\pi }{(6370+296).10^{3}}{7,73.10^{3}} = 5,42.10^{3} s$

4.3.2 :

La durée du mouvement de DISCOVERY est $\Delta t = n T = 189 \times 5,42.10^{3} = 1,02.10^{6} s = \frac{1,02.10^{6}}{24 \times 3600}= 11,85 jours \approx 12 jours$

La date de lancement de la navette est la date d’atterrissage moins la durée du mouvement soit :

$t_{i} = t_{f} - \Delta t = 18 août 1997 – 12 jours = 6 août 1997$

La date de lancement de la navette est le 6 août 1997.

4.4.1 :

Le travail du poids de DISCOVERY entre les dates $t_{1}$ et $t_{2}$ est :

$W^{\overrightarrow{P}} = mg(z_{1} - z_{2}) = 69,68.10^{3} \times 9,7(54,86.10^{3} - 11,58.10^{3}) = 2,93.10^{10} J$

4.4.2 :

Appliquons le théorème de l’énergie cinétique sur la navette entre les instants $t_{1}$ et $t_{2}$

$\frac{1}{2}mv_{2}^{2} - \frac{1}{2}mv_{1}^{2} = W^{\overrightarrow{P}} + W^{\overrightarrow{f}} \rightarrow W^{\overrightarrow{f}} = \frac{1}{2}mv_{2}^{2} - \frac{1}{2}mv_{1}^{2} - W^{\overrightarrow{P}}$

Soit :

$W^{\overrightarrow{f}} = \frac{1}{2}\times 69,68.10^{3}(223,5^{2} - 1475^{2}) - 2,93.10^{10} = -1,03.10^{11} J$

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