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Corrigé Epreuve 1998 : Similitude directe ( 05 pts)

Détails: Catégorie : géométrie plane

$r_{1}\left( O_{1},\frac{\pi }{3}\right)$

$r_{2}\left( O_{2},\frac{\pi }{3}\right)$

$r_{1}\left( M\right) =M_{1}$

$r_{2}\left( M_{1}\right) =M_{2}$

donc $r_{2}Or_{1})\left( M\right) =M_{2}$

1) a) $r_{2}Or_{1}$ est une rotation d'angle $\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi }{3} =\pi$

qui n'est rien d'autre qu'une symétrie centrale

donc le centre est le milieu de $\left[ MM_{2}\right]$ .

or le centre étant invariant par le symétrie, donc $J$
milieu de $\left[ MM_{2}\right]$ est fixé par

2) a) $OMM_{1}$ étant un triangle équilatéral et $H=p\perp \left( O_{1}\right)$ $sur$ $\left( MM_{1}\right)$ et $\left( \overrightarrow{OH},\overrightarrow{O_{1}M}\right) =-\frac{\pi }{2}$

on a : $\frac{O_{1}H}{O_{1}M}=\cos \left( -\frac{\pi }{6}\right)$ .

donc $O_{1}M=\frac{2\sqrt{3}}{3}=O_{1}H-$

s est la similitude directe de centre $O_{1}$ d'angle $-\frac{\pi}{6}$ et de rapport $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ .

b) $M,M_{1},M_{2}$ alignés si et seulement si $H$ est situé {/tex} sur le cercle de diamètre $\left[ O_{1}J\right]$ .

si $M,M_{1},M_{2}$ alignés alors $\left( MM_{1}\right) \parallel \left( MM_{2}\right)$ et $\left\{ \begin{array}{c} \left( MM_{1}\right) \parallel \left( JM\right) \\ \left( MM_{1}\right) \perp \left( O_{1}M\right) \end{array} \right.$

donc $\left( JM\right) \perp \left( O_{1}H\right)$

aussi donc $\left. \begin{array}{c} J\in \left( O_{1}H\right) et\text{ }H\in \left( MM_{1}\right) \end{array} \right\} donc$ $\left( JH\right) =\left( MM_{1}\right) =\left( JM\right)$

d'où $\grave{u}$ $\left( JH\right) \perp \left( O_{1}\right)$

et par suite $H\in C$ $\left( \left[ \left( O_{1}J\right) \right] \right)$

réciproquement

si $H\in C$ $\left( \left[ \left( O_{1}J\right) \right] \right)$ alors $\left( HJ\right) \perp \left( O_{1}H\right)$

or $\left( O_{1}H\right) \perp \left( MM_{1}\right)$

donc $\left( HJ\right) \parallel \left( MM_{1}\right)$

et $\left( HJ\right) \perp \left( HM_{1}\right)$

d'où $\grave{u}$ $\left( HJ\right) =\left( HM_{1}\right)$

c'est- $\grave{a}$ -dire $M,H,J,M_{1}$

on a : $J$ milieu de $\left[ MM_{2}\right]$ donc

$\left( MM_{2}\right) =\left( JM\right)$ et $J,M_{1},M_{2}$ aligné
s donc $M,M_{1},M_{2}$ alignés

c) $M,M_{1},M_{2}$ alignés $M$ équivaut à $H\in C$ $\left( \left[ \left( O_{1}J\right) \right] \right)$

or $s(H)=M.$

$H\in C$ $\left( \left[ \left( O_{1}J\right) \right] \right)$ donc $M$
appartient $\grave{a}$ l'image du cercle de diamétre $\left[ O_{1}J \right]$ par la similitude $s$ donc C est l'image du cercle de diamétre $\left[ O_{1}J\right]$ par s .

3) a) $MM_{1}=O_{1}M_{1}=O_{1}M$

Soit $K=p\perp \left( O_{2}\right)$ sur $\left( M_{1}M_{2}\right)$

$M_{1}K=O_{2}M_{1}.\sin \left( \frac{\pi }{3}\right)$

$M_{1}K=O_{2}M_{1}.x\frac{\sqrt{3}}{2}$

or $M_{1}M_{2}=2M_{1}K=\sqrt{3}.O_{2}M_{1}$

$M_{1}M_{2}=\sqrt{3}.O_{2}M_{1}$

$M_{1}M_{2}=\sqrt{3}M_{1}M$ $M_{1}M=O_{2}M_{1}$

or $M_{1}M_{2}=\sqrt{3}.O_{2}M_{1}$
$O_{1}M_{1}=O_{2}M_{1}$

donc $M_{1}$ appartient la médiatrice de $\left[ O_{1}O_{2}\right]$

c) on a : si $M_{1}M_{2}=\sqrt{3}M_{1}M$ alors $M_{1}$ appartient la médiatrice de $\left[ O_{1}O_{2}\right]$

or $M_{1}=r_{1}\left( M\right)$ donc $M=r_{1}^{-1}\left( M_{1}\right)$

si $M_{1}$ appartient à la médiatrice de $\left[ O_{1}O_{2} \right]$

alors $M$ appartient à l'image de la médiatrice de $\left[ O_{1}O_{2}\right]$ par la rotation de $r_{1}^{-1}$ centre $O_{1}$ et d'angle $\frac{\pi }{3}$

$\Delta$ est l'image de la médiatrice de $\left[ O_{1}O_{2}\right]$ par $r_{1}^{-1}$ de centre $O$ et d'angle $\left( -\frac{\pi }{3}\right)$ .

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