2006 : Simulitude directe et ligne polygonale

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géométrie plane

2006 : Simulitude directe et ligne polygonale

Terminale S1 et S3

2006 : Simulitude directe et ligne polygonale

Détails: Catégorie : géométrie plane

Dan le plan euclidien orienté, on considère un rectangle direct ABCD de centre O tel que AB=3a et BC=a\sqrt{3}; où a est un réel strictement positif donné.

1) Déterminer la nature du triangle BCO}.

2) Soit E le point du segment \left[ BD\right] tel que BE=\frac{3}{4}BD. Donner une construction géométrique du centre $\Omega$ de la similitude directe s telle que s(B)=O et s(E)=C.

3) on suppose dans la suite que a=1 et on pose : $\vec{u}=\frac{1} {AB}.\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}=\frac{1}{AD}.\overrightarrow{AD};$ on munit ensuite le plan du repère orthonormal direct $(A,\vec{u},\vec{v}),$

a) déterminer les affixes de B et de O.

b) En déduire l'écriture complexe de l'applications.

4) Déterminer l'affixe de $\Omega$ et celle du point A'=s(A).

5) On considère la suite de points $M_{n}$ d'affixes $z_{n}$ définie
par $M_{0}=A$ et pour tout $n\in \mathbb{N} ,$ $M_{n+1}=s(M_{n}).$

a) démontrer que la suite ( $\alpha_{n})_{n\in \mathbb{N} }$ définie par : $\alpha_{n}=z_{n+1}-z_{n}$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme $\alpha_{0}$ et la raison.

b) Exprimer en fonction de n la longueur de la ligne polygonale $M_{0} M_{1}M_{2}...M_{3n}$ et déterminer la limite de cette longueur quand on tend vers $+\infty.$

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