1997: Equations differentielles et fonctions numériques(12 pts)

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2007 : élémentaires conditionnelles de Bernouilli

Terminale S2

1997: Equations differentielles et fonctions numériques(12 pts)

Détails: Catégorie : Synthèse

I /

1) a/ Résoudre l’équation différentielle :

$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=0$

b/ Donner la solution satisfaisant aux conditions suivantes :

$f(0)=0$ et $f^{\prime }(0)-1$

2) On considère la fonction $g(x)=e^{x}-e^{2x}$

a) Etudier les variations de g et construire sa courbe représentative $C_{g}$ dans un repère orthonormal $(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j)}$ unité 1 cm.

b) A tout réel $\beta ;$ on associe $(p_{\beta })$ l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient :

$\left\{ \begin{array}{c} \beta <x<0 0<x<g(x) \end{array} \right.$

Hachurer ce domaine ; calcule en cm², l’aire $A_{\left( \beta \right) }$ de ce domaine et la limite de cette aire lorsque tend vers . $-\infty$

П / On considère la fonction h :

$x\rightarrow \left\vert e^{x}-e^{2x}\right\vert$ $de$ $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ .

1) déterminer $\QDATOP{\lim }{u\rightarrow 0}\dfrac{e^{u}-1}{u}$ , en justifiant

2) Etudier la dérivabilité de h à droite ; puis à gauche en 0.

3) Faire l’étude complète de h puis construire $C_{n}$ dans un second repère orthonormal $(0,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v)}$ on représentera les demi tangentes en 0 à $l_{x}$ .

Ш / On considère la fonction $n(x)=|e^{x}-e^{2x}|$

1) a/ Préciser le domaine de n

b/ Démontrer que $n(x)-2x=\ln (1-e^{-x}),\forall x\in \mathbb{R}_{+}^{\ast }$

c/ Déterminer $\QDATOP{\lim }{x\rightarrow +\infty }$ \ $\ln (1-e^{x})$

d/ En déduire l’existence d’une asymptote oblique $\Delta _{1}$ à $C_{n}$ . On étudiera éventuellement la position de $C_{n}$ et $\Delta _{1}$ .

2) a/ Démontrer que $\forall x\in \mathbb{R}_{-}^{\ast }$ $n(x)-x=\ln (1-e^{-x})$

b/ Déterminer $\QDATOP{\lim }{x\rightarrow -\infty }$ \ $\ln (1-e^{x})$ en déduire l’existence d’une deuxième asymptote $\Delta _{2}$ à la courbe , $C$ $_{n}^{\prime }$ étudier leur position.

3) Faire l’étude complète de n et construire $C_{n}$ dans un troisième repère orthonormal {tex(0,\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}}){/tex}

4) Montrer que la restriction $\varphi$ de n à $\mathbb{R}_{+}^{\ast }$ admet une bijection réciproque $\varphi ^{-1}$ et construire la courbe $C$ de $\varphi ^{-1}$ dans le repère $(0,\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}})$ .

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