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2006: Etude de fonction et calcul d’aire

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

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I. On considère la fonction $f$ définie sur $%TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion$ par : $f(x)=x(1+e^{2-x}).$

On note $(C)$ sa courbe représentation dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ . (Unité : 2 cm).

1) Soit h la fonction définie sur $% %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion$ par : $h(x)=1+(1-x)e^{2-x}.$

a) Etudier les variations de $h$ (on ne déterminera pas de limites aux bornes de $D_{h}$ ).

b) En déduire le signe de $h(x)$ sur $\mathbb{R}$

2) a) Etudier les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty.$

b) Préciser la nature de la branche infinie de $f$ en $-\infty.$

c) Calculer $\lim_{x\rightarrow+\infty}\left[ f(x)-x\right]$ , puis interpréter le résultat obtenu.

d) Préciser la position de $(C)$ par rapport à la droite $\Delta:y=x.$

3) a) Dresser le tableau de variation de $f$ .

b) Montrer que f admet une bijection réciproque notée $f^{-1}$ définie sur $\mathbb{R}.$

c) $f^{-1}$ est elle dérivable en 4 ?

d) Etudier la position de $(C)$ par rapport à sa tangente au point d'abcisse 2.

e) Construire $(C)$ (On tracera la tangente à $(C)$ au point d'abscisse 2.

f) Construire $(C)$ courbe de $f^{-1}$ dans le repère précédent.

II. Soit $\lambda$ un réel strictement positif. $R_{\lambda}$ est la région du plan délimitée par les droites d'équations respectives $x=0$ et $x=\lambda$ et les courbes d'équations respectives :
$y=f(x)$ et $y=x$ .

Soit $a(\lambda)$ l'aire de $R_{\lambda}$ en $cm^{2}.$

1) Calculer $a(\lambda)$ en fonction de $\lambda.$

2) Déterminer $a=\lim_{x\rightarrow+\infty}a(\lambda)$ . Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

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