Corrigé Epreuve 2005: Etude de fonction et bijection

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Lois statistiques de la transmission des caractères héréditaires

Corrigé 2007 : Raisonnement scientifique

Terminale S1 et S3

Corrigé Epreuve 2005: Etude de fonction et bijection

Détails: Catégorie : fonctions numeriques

Partie A:

$f(x)=\frac{e^{x}}{1+e^{x}}-\ln(1+e^{x})$

a) Etude des variations de f.

f(x) existe si et seulement si $1+e^{x} > 0$

or $1+e^{x}>0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$

donc $D_{f}=\mathbb{R}.$

$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\left( \frac{e^{x}}{1+e^{x}}-\ln(1+e^{x})\right) =0$

car $e^{x}\rightarrow 0$

$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left( \frac{e^{x}}{1+e^{x}}-\ln(1+e^{x})\right) =-\infty$

car $\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\rightarrow1$ et $\ln(1+e^{x})\rightarrow+\infty$

$x\rightarrow\frac{e^{x}}{1+e^{x}}$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$

$x\rightarrow1+e^{x}$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$ et

$1+e^{x}>0$ pour tout x $\in\mathbb{R}$

donc $\ln(1+e^{x})$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$

d'où f est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$ comme différence de deux fonctions continues et dérivables sur $\mathbb{R}$

$f^{\prime}(x)=\frac{e^{x}(1+e^{x})-e^{x}e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}-\frac{e^{x} }{1+e^{x}}=\frac{-e^{2x}}{(1+e^{x})^{2}}$

$\forall x\in\mathbb{R},f^{\prime}(x)<0$

donc f est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$

b) $\lim_{x\rightarrow+\infty}\left[ f(x)-1+x\right] =\lim_{x\rightarrow+\infty} \left[ \frac{e^{x}}{1+e^{x}} -\ln(1+e^{x})-1+x\right]$

$=\lim_{x\rightarrow+\infty} \left[ \frac{e^{x}}{1+e^{x}}-1+\ln e^{x}-\ln(1+e^{x})\right] =\lim_{x\rightarrow+\infty} \left[ \frac{e^{x}}{1+e^{x}}-1+\ln\frac{e^{x}}{1-e^{x}}\right] =0$

on en déduit que la droite d'équation $y=1-x$ est asymptote à $(C)$
en $+\infty.$ à la Courbe de f

Tableau de variation

c) $f$ est continue strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ donc f réalise une bijection de $\left] -\infty,+\infty\right[$ sur l'image de $\mathbb{R}$ qui est égale à $\left] -\infty,0\right[$

2) $g(x)=e^{-x}\ln(1+e^{x})$

a) pour tout $x\in\mathbb{R},1+e^{x}>0,$ donc $\ln(1+e^{x})$ est définie

d'où $D_{g}=\mathbb{R}$

la fonction $x\rightarrow1+e^{x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et strictement positive.

donc $\ln(1+e^{x})$ est dérivable sur $\mathbb{R}.$

or $e^{-x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$

d'où g est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$

b) $g^{\prime}(x)=-e^{-x}\ln(1+e^{x})+e^{-x}\frac{e^{x}}{1+e^{x}}$

$g^{\prime}(x)=e^{-x}\left[ \frac{e^{x}}{1+e^{x}}-\ln(1+e^{x})\right] =e^{-x}f(x)$

c) $\lim_{x\rightarrow+\infty} g(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty} e^{x}\ln(1+e^{x})=\lim_{x\rightarrow+\infty} (1+e^{-x} )\frac{\ln(1+e^{x})}{1+e^{x}}=0$

car $\frac{\ln(1+e^{x})}{1+e^{x}}\rightarrow0$ et $(1+e^{x})\rightarrow1$

$\lim_{x\rightarrow-\infty} g(x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}{\lim }e^{-x}\ln(1+e^{x})=\lim_{x\rightarrow-\infty} \frac{\ln(1+e^{x} )}{e^{x}}=\lim_{X\rightarrow0} \frac{\ln(1+X)}{X}=1$

d) on a $g^{\prime}(x)=e^{-x}f(x)$

or d'après 2) c) on a $f(x)<0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$

d'où $g^{\prime}(x)<0$ sur $\mathbb{R}$

tableau de variation de g :

courbe de g:

a) $\frac{1}{1+e^{x}}=\frac{e^{-x}}{e^{-x}(1+e^{x})}=\frac{e^{-x}} {1+e^{-x}}$

b) $\lambda\in\mathbb{R}$ $I(\lambda)={\displaystyle\int_{0}^{\lambda}}g(x)dx$

g est continue sur $\left[ 0,\lambda\right]$ donc $I(\lambda)$ existe

$I(\lambda)={\displaystyle\int_{0}^{\lambda}}g(x)dx={\displaystyle\int_{0}^{\lambda}}e^{-x}\ln(1+e^{x})dx$

on pose $u^{\prime}(x)=e^{-x}$ et $v(x)=\ln(1+e^{x})$

on obtient $u(x)=-e^{-x}$ et $v^{\prime}(x)=\frac{e^{x}}{1+e^{x}}$

donc ${\displaystyle\int_{0}^{\lambda}}e^{-x}\ln(1+e^{x})dx=\left[ -e^{-x}\ln(1+e^{x})\right] _{0}^{\lambda}- {\displaystyle\int_{0}^{\lambda}}\frac{-e^{-x}e^{x}}{1+e^{x}}dx$

$=-e^{-\lambda}\ln(1+e^{\lambda})+\ln2+{\displaystyle\int_{0}^{\lambda}}\frac{1}{1+e^{x}}dx$

$=-e^{-\lambda}\ln(1+e^{\lambda})+\ln2+{\displaystyle\int_{0}^{\lambda}}\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}dx=-e^{\lambda}\ln(1+e^{\lambda})+\ln2-\left[\ln(1+e^{x})\right] _{0}^{\lambda}$