terminales.examen.sn

Vous êtes ici : Accueil

Corrigé Epreuve 2004 : Corrigé : Etude de fonction et calcul d’aire

Détails: Catégorie : fonctions numeriques

$f(x)=\frac{~\left( 2x-1\right) e^{~x}-2x+2}{~e^{~x}-1}$

1) $f(x)$ existe entre $\{x\mathbb{R} ~$ et $~e^{~x}-1\neq 0\}$

posons $~e^{~x}-1=0\Longleftrightarrow ~e^{~x}=1\Longleftrightarrow x=\ln 1=0$ donc D $_{~f}=\mathbb{R}^{~\ast }$

posons $f(x)=ax+b+\frac{~c}{~e^{~x}-1}$

$f(x)=\frac{~ax\left( e^{~x}-1\right) +b\left( e^{~x}-1\right) +c}{~e^{~x}-1}$

$f(x)=\frac{~\left( ax+b\right) e^{~x}-ax~+~c~-~b}{~e^{~x}-1};x\neq 0$

d'autre part $f(x)=\frac{~\left( 2x-1\right) e^{~x}-2x+2}{~e^{~x}-1};x\neq 0$

par identification $a=2$

$b=-1$

$c=b+2=1$

ainsi $a=2\qquad b=-1\qquad c=1$

2) Limites aux bornes

$f(x)=2x-1+\frac{~1}{~e^{~x}-1}$

$\lim_{x\rightarrow -\infty } \left( 2x-1\right) =-\infty$

$\lim_{x\rightarrow -\infty } \left( e^{~x}-1\right) =-1$

Ainsi $\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x)=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{~1}{~e^{~x}-1}=0$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 2x-1\right)=+\infty$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty$

$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\left( e^{~x}-1\right)=0^{-}\qquad$

$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{~1}{~e^{~x}-1}=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=-\infty$

de même $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=+\infty$

a) calcul de $f\prime (x)$

$f(x)=2x-1+\frac{~1}{~e^{~x}-1}$

$f\prime (x)=\left( 2x-1\right) \prime +\left( \frac{~1}{~e^{~x}-1}\right) \prime \qquad ;\qquad x\neq 0$

$f\prime (x)=2-\frac{e^{~x}}{\left( ~e^{~x}-1\right) ^{~2}}=\frac{2\left( ~e^{~x}-1\right) ^{~2}-~e^{~x}}{\left( ~e^{~x}-1\right) ^{~2}}$

$f\prime (x)=\frac{2~e^{~2x}-5e^{~x}+2}{\left( ~e^{~x}-1\right) ^{~2}}$

b) posons $~e^{~x}=t$ et $2~\left( e^{~x}\right) _{{}}^{~2}-5\left(e^{~x}\right) +2=0$

donc $2t^{~2}-5t+2=0$

$\Delta =25-16=9\qquad ;\qquad \sqrt{\Delta }=3$

$t=\frac{~5-3}{~4}$ ou $t=\frac{~5+3}{~4}$

$t=\frac{1}{~2}$ ou $\ t=2$

$x=-ln2$ ou $x=ln2$

$2~e^{~2x}-5e^{~x}+2=2\left( e^{~x}-\frac{~1}{~2}\right) \left( e^{~x}-2\right)$

$2~e^{~2x}-5e^{~x}+2=\left( 2e^{~x}-2\right) \left( e^{~x}-2\right)$

$f(ln2)=\frac{~\left( 2\ln 2-1\right) 2-2\ln 2+2}{2-1}=2\ln 2$

$f(-ln2)=\frac{~\left( -2\ln 2-1\right) \frac{1}{~2}+2\ln 2+2}{\frac{1}{~2}-1 }=\frac{~-\ln 2+-\frac{1}{~2}+2\ln 2+2}{-\frac{3}{~2}}=\left( \ln 2+\frac{3}{ ~2}\right) \left( -\frac{2}{~3}\right)$

$f(-ln2)=-\frac{2}{~3}\left( \ln 2+\frac{3}{~2}\right)$

tableau de variations:

$f(x)=2x-1+\frac{~1}{~e^{~x}-1}$

$\left[ f(x)-\left( 2x-1\right) \right] =\frac{~1}{~e^{~x}-1}$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ f(x)-\left( 2x-1\right) \right] =\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{~1}{~e^{~x}-1} =0$

donc la droite d'équation $y=2x-1$ est asymptote de $(C)$

$f(x)-\left( 2x-2\right) =2x-1+\frac{~1}{~e^{~x}-1}-2x+2$

$f(x)-\left( 2x-2\right) =\frac{~1}{~e^{~x}-1}+1$

$f(x)-\left( 2x-2\right) =\frac{e^{~x}}{~e^{~x}-1}\qquad$ or $\lim_{ x\rightarrow +\infty }e^{x}=0$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ f(x)-\left( 2x-2\right) \right] =\frac{~0}{~0-1}=0$

donc $\lim_{x\rightarrow +\infty } \left[ f(x)-\left( 2x-2\right) \right] =0$

la droite d'équation $y=2x-2$ est asymptote de $(C)$

$\lim_{x\rightarrow 0^{~-}}f(x)=-\infty$ et $\lim_{ x\rightarrow 0^{+}}f(x)=+\infty$

La droite d'équation $x = 0$ est asymptote de $(C)$

x $_{~\Omega }=\frac{~x+(-x)}{2}=0$

y $_{~\Omega }=\frac{~f(x)+f(-x)}{2}$

$f(x)=2x-1+\frac{~1}{~e^{~x}-1}$

$f(-x)=-2x-1+\frac{~1}{~e^{~-x}-1}$

$f(x)+f(-x)=-2+\frac{~1}{~e^{~-x}-1}+\frac{~1}{\frac{~1-~e^{~x}}{~e^{~x}}} =-2+\frac{~1}{~e^{~-x}-1}+\frac{~e^{~x}~}{~~1-~e^{~x}}$

$f(x)+f(-x)=-2+\frac{~1-~e^{~x}}{~e^{~x}-1}\qquad ;\qquad x\neq 0$

$f(x)+f(-x)=-3\qquad \frac{f(x)+f(-x)}{2}=-\frac{~3}{~2}$

$\Omega (0,-\frac{~3}{~2})$ est centre de symétrie

6) Courbe de f :

a) $f(x)=2x+\alpha +\frac{~\beta e^{~x}}{~e^{~x}-1}$

$f(x)=\frac{2x~\left( e^{~x}-1\right) -\alpha \left( e^{~x}-1\right) +\beta e^{~x}}{~e^{~x}-1^{~}}=\frac{\left( 2x+\alpha +\beta ~\right) e^{~x}-2x-\alpha }{~e^{~x}-1^{~}}\qquad ;\qquad x\neq 0$