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Corrigé Epreuve 2000: Nombres complexes et similitudes (04 pts)

Détails: Catégorie : algèbre

Nombres complexes et similitudes (04 pts-2000)

$A_{1}(Z_{1}),$ $A_{2}(Z_{2}),$ $A_{3}(Z_{3})$ tels que $Z_{1}=1;Z_{2}=1+\sqrt{ 2}+1\sqrt{2};Z_{3}=\frac{5+i\sqrt{3}}{4}$

1) a) Ecriture trigonométrique des nombres complexes $Z_{2}-Z_{1};Z_{3}-Z_{1}$

$Z_{3}-Z_{1}=\frac{5+i\sqrt{3}}{4}-1$

$=\ \frac{1+i\sqrt{3}}{4}$

$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$\ =\frac{1}{2}(\cos \frac{\Pi }{3}+i$ $sin\frac{\Pi }{...}$

3) $Z_{2}-Z_{1}=\sqrt{2}+i\sqrt{2}$

$=\sqrt{2}(1+i)$

$=2(2\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})$

= $2\left(\cos \frac{\Pi }{4}+i sin\frac{\Pi }{4}\right)$

$Z_{2}-Z_{1}=2\left(\cos \frac{\Pi }{4}+isin\frac{\Pi }{4}\right)$

$Z_{3}-Z_{1}=\frac{1}{2}\left(\cos \frac{\Pi }{3}+isin\frac{\Pi }{3}\right)$

N.B. : On peut aussi chercher le module puis un argument de chaque différence et en déduire la forme trigonométrique.

b) Ecriture algébrique de $\frac{Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}}$

$\frac{Z_{3}-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}}=\frac{1+i\sqrt{3}}{4(\sqrt{2}+i\sqrt{2})}= \frac{1+i\sqrt{3}}{4\sqrt{2}(1+i)}=\frac{1+i\sqrt{3}(1-i)}{8\sqrt{2}}=\frac{ 1+i\sqrt{3}}{8\sqrt{2}}+i\frac{\sqrt{3}-1}{8\sqrt{2}}$

$D^{\prime }o\grave{u}$ $\frac{Z_{3}-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}}=\frac{\sqrt{2}+ \sqrt{6}}{16}+i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{16}$

Ecriture de $\frac{Z_{3}-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}}$ sous forme trigonométrique .Connaissant les modules et arguments du numérateur et du dénominateur, on en déduit directement écriture du quotient sous forme trigonométrique.

Nous avons après 1 - a)

$|Z_{3}-Z_{1}|=\frac{1}{2}$ et $arg(Z_{3}-Z_{1})=\frac{\Pi }{3}[2\Pi ]$

$|Z_{2}-Z_{1}|=2$ et $arg(Z_{2}-Z_{1})=\frac{\Pi }{4}[2\Pi ]$

$D^{\prime }o\grave{u}$ $|\frac{Z_{3}-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}}|$ $=|\frac{ Z_{3}-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}}|$ $=\frac{1}{4}$ \ et $arg(\frac{Z_{3}-Z_{1}}{ Z_{2}-Z_{1}})=arg(Z_{3}-Z_{1})-arg(Z_{2}-Z_{1})$

$=\frac{\Pi }{3}-\frac{\Pi }{4}$

$=\frac{\Pi }{12}[2\Pi ]$

Il en résulte que : $\frac{Z_{3}-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}}=\frac{1}{4} (\cos \frac{\Pi }{12}+i$ $sin\frac{\Pi }{12})$

Des deux écritures précédentes de $\frac{Z_{3}-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}}$ \ nous déduisons :

$\frac{1}{4}\cos \frac{\Pi }{12}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{16}$

$\frac{1}{4}\sin \frac{\Pi }{12}=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{16}$

$D^{\prime }o\grave{u}$ $\cos \frac{\Pi }{12}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} ;\sin \frac{\Pi }{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

2) a) S est le similitude de centre A₁, de rapport $\frac{A_{1}A_{3}}{ A_{1}A_{2}}$ et d'angle $\left(\overrightarrow{A_{1}A_{2}}, \overrightarrow{A_{1}A_{3}}\right)$

or $\frac{A_{1}A_{3}}{A_{1}A_{2}}=\frac{|Z_{3}-Z_{1}|}{|Z_{2}-Z_{1}|}=\frac{1 }{4}$ et $(\overrightarrow{A_{1}A_{2}},\overrightarrow{A_{1}A_{3}})=arg( \frac{Z_{3}-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}})\ =\frac{\Pi }{12}[2\Pi ]$

Donc S est la similitude directe de centre A₁,d'angle $\frac{\Pi }{12}$ et de rapport $\frac{1}{4}.$

Autre méthode

$Z'=az+b$ $S(A_{1})=A_{1}$ et $S(A_{2})=A_{3}$ d'où on a :

Le système suivant : $\left\{ \begin{array}{c} Z_{3}=aZ_{2}+b \\ Z_{1}=aZ_{1}+b \end{array} \right.$

Faisons la différence membre à membre des deux équations :

$Z_{3}-Z_{1}=a(Z_{2}-Z_{1})$ où $a=\frac{Z_{3}-Z_{1}}{Z2-Z_{1}}$

or $a=ke^{i9}$ avec $k=|a|$ est le rapport de $S$ et $\theta =arg a$ est d'angle de $S$

d'où $|a| =\frac{|Z_{3}-Z_{1}|}{|Z_{2}-Z_{1}|}=\frac{1}{4}$

Connaissant $a$ , on remplace dans la deuxième équation du système :

$b=Z_{1}(1-a)$ $\Leftrightarrow$ $b=1(1-\frac{Z_{3}-Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}})$

$\Leftrightarrow$ $b=\frac{ Z_{2}-Z_{1}-Z_{3}+Z_{1}}{Z_{2}-Z_{1}}$ $\Leftrightarrow$ $b=\frac{ Z_{2}-Z_{3}}{Z_{2}-Z_{1}}$

b) $S:M(z)\rightarrow M^{\prime }(Z^{\prime })$ tel que $Z^{\prime }-Z_{1}= \frac{1}{4}e^{i\frac{\Pi }{12}}(Z-Z_{1})$

$Z_{B}=1-4\sqrt{2}e^{1\frac{\Pi }{3}}$ soit $B^{\prime }=S(B);B^{\prime }(Z_{B^{\prime }})$

$Z_{B^{\prime }}-Z_{1}=\frac{1}{4}e^{1\frac{\Pi }{12}}(Z_{B}-Z_{1});Z_{B^{^{ \prime }}}-1=\frac{1}{4}e^{i\frac{\Pi }{2}}(1-4\sqrt{2}e^{-i\frac{\Pi }{3} }-1)$

$Z_{B^{\prime }}=-\sqrt{2}e^{(i\frac{\Pi }{12}-\frac{\Pi }{3})}+1=1-\sqrt{2} e^{-i\frac{3\Pi }{12}}=1-\sqrt{2}e^{-i\frac{\Pi }{4}}=1-\sqrt{2}(\frac{\sqrt{ 2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2})$

$Z_{B^{\prime }}=i$

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