corrigé: 2007: Nombres complexes et ensemble de points

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Corrigé 2008 : Accélérateurs de particules

Terminale S1 et S3

corrigé: 2007: Nombres complexes et ensemble de points

Détails: Catégorie : algèbre

${ f\left( z\right) }$ = $z^3 + \alpha z^2+ \beta z$

$f\left( 1\right) +f\left( j\right) +f\left( j2\right) =\left( 1+\alpha+\beta\right) +\left( j^3+\alpha j^2+\beta j\right) +\left( (j^2\right) ^3+\alpha \left( j^2\right) ^2+\beta j^2\right)$

$= 1+j^3+j^6+\alpha \left( 1+j^2+j^4\right) +\beta\left( 1+j+j^2\right) = 3$

2. a. Le module d'une somme est inférieure à la somme des modules, donc :

$\left|{f\left( 1\right) }\right|+ \left|{f\left( j\right) }\right|+ \left|{f\left( j^2\right) }\right|>= \left|{f\left( 1\right) +f\left( j\right) +f\left( j^2\right) }\right|=3$

b. Si chacun de ces trois modules était < 1, leur somme serait < 3, ce qui contredit le a); donc un au moins de ces modules est ${}\geq{}$ 1.

3. a. Puisque le triangle est équilatéral direct de centre O, l'angle $\left( \overrightarrow{OA,} \overrightarrow{OB}\right)$ vaut $\frac{2\pi} {3}$ et OA = OB ; donc B est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle $\frac{2\pi} {3}$ :

$z_{B}$ = ${e^{\frac{2i\pi} {3}}}\ \ \ z_A=rj$ .

De même C est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle $-{\frac{2\pi} {3} }$ :

$z_C$ = ${e^{ - \frac{2i\pi} {3}}}\ \ \ z_A=r \bar j=rj^2$

$BO.BI.BJ$ {=} ${ r \left|{j}\right|.\left|{a-rj}\right|.\left|{b-rj}\right}$ {=} ${r \left|{j.\left( a-rj\right) .\left( b-rj\right) }\right }$ {=} ${r \left|{r^2 j^3-\left( a+b\right) rj^2+abj}\right}$ = ${ r^3 \left|{j^3+\alpha j^2+\beta j}\right}$ {=} ${r^3 \left|{f\left( j\right) }\right}$

De même

$CO.CI.CJ \textrm{=} r \left|{j^2}\right|.\left|{a-rj^2}\right|.\left|{b-rj^2}\right|\textrm{=}r \left|{j.\left( a-rj^2\right) .\left( b-rj^2\right) }\right|$

$= r \left|{r^2 j^6-\left( a+b\right) rj^4+abj^2}\right|= r^3 \left|{1+\alpha j+\beta j^2}\right|=r^3 \left|{f\left( j^2\right) }\right|$

$AO.AI.AJ \textrm{=} r. \left|{a-r}\right|.\left|{b-j}\right|\textrm{=}r \left|{j.\left( a-r\right) .\left( b-r\right) }\ \textrm{=}r \left|{r^2 - \left( a+b\right) r + ab}\right|= r^3 \left|{1+\alpha +\beta}\right|=r^3 \left|{f\left( 1\right) }\right|$

c. Puisque l'un au moins des nombres $\left|{f\left( 1\right) }\right|,\left|{f\left( j\right) }\right|,\left|{f\left( j^2\right) }\right|$ est > 1; l'un au moins des nombres

$r^3 \left|{f\left( 1\right) }\right|,r^3 \left|{f\left( j\right) }\right|,r^3 \left|{f\left( j^2\right) }\right|$ est ${}\geq{{ r}^{3}}$ . Donc le triangle ABC a au moins un sommet S vérifiant:

$SO.SI.SJ>=r^3$ .

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