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corrigé: 2007: Nombres complexes et propriétés d’un triangle équilatéral

Détails: Catégorie : algèbre

$f\left( z\right) = {z^3 + \alpha z^2+ \beta z}$

1. ${f\left( 1\right) +f\left( j\right) +f\left( j2\right) }$

$= \left( 1+\alpha+\beta\right) +\left( j^3+\alpha j^2+\beta j\right) +\left( (j^2\right) ^3+\alpha \left( j^2\right) ^2+\beta j^2\right)$ {

$= 1+j^3+j^6+\alpha \left( 1+j^2+j^4\right) +\beta\left( 1+j+j^2\right) = 3$

2. a. Le module d'une somme est inférieure à la somme des modules, donc :

$\left|{f\left( 1\right) }\right|+ \left|{f\left( j\right) }\right|+ \left|{f\left( j^2\right) }\right|\ge \left|{f\left( 1\right) +f\left( j\right) +f\left( j^2\right) }\right|=3$

b. Si chacun de ces trois modules était ${}< 1{}$ , leur somme serait ${}< 3{}$ , ce qui contredit le a); donc un au moins de ces modules est <math> ${}\geq 1{}$ .

3. a. Puisque le triangle est équilatéral direct de centre $O$ , l'angle $\left( \overrightarrow{OA,} \overrightarrow{OB}\right)$ vaut $\frac{2\pi} {3}$ et ${OA}\textrm{=}{OB}$ ; donc $B$ est l'image de A par la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{2\pi} {3}$ :

$z_{B}$ {=} ${{e^{\frac{2i\pi} {3}}}\ \ \ z_A{=}rj }$ .

De même $C$ est l'image de $A$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $-{\frac{2\pi} {3} }$ :

$z_C = e^{ - \frac{2i\pi} {3}}}\ \ \ z_A{=}r \bar j{=}rj^2}$

b. $BO.BI.BJ = r \left|{j}\right|.\left|{a-rj}\right|.\left|{b-rj}\right|}$

$={r \left|{j.\left( a-rj\right) .\left( b-rj\right) }\right|}$

$=r \left|{r^2 j^3-\left( a+b\right) rj^2+abj}\right|= r^3 \left|{j^3+\alpha j^2+\beta j}\right|=r^3 \left|{f\left( j\right) }\right|}$

De même

$CO.CI.CJ = r \left|{j^2}\right|.\left|{a-rj^2}\right|.\left|{b-rj^2}\right|}$

$=r \left|{j.\left( a-rj^2\right) .\left( b-rj^2\right) }\right|}$

$={r \left|{r^2 j^6-\left( a+b\right) rj^4+abj^2}\right|= r^3 \left|{1+\alpha j+\beta j^2}\right|=r^3 \left|{f\left( j^2\right) }\right|}$

Et $AO.AI.AJ = r. \left|{a-r}\right|.\left|{b-j}\right|} = r \left|{j.\left( a-r\right) .\left( b-r\right) }\right|$

$=r \left|{r^2 - \left( a+b\right) r + ab}\right| = r^3 \left|{1+\alpha +\beta}\right|=r^3 \left|{f\left( 1\right) }\right|$

c. Puisque l'un au moins des nombres ${\left|{f\left( 1\right) }\right|,\left|{f\left( j\right) }\right|,\left|{f\left( j^2\right) }\right|est \ge 1}$ ; l'un au moins des nombres
$r^3 \left|{f\left( 1\right) }\right|,r^3 \left|{f\left( j\right) }\right|,r^3 \left|{f\left( j^2\right) }\right|$ est ${}\geq{{ r}^{3}}$ . Donc le triangle $ABC$ a au moins un sommet S vérifiant: $SO.SI.SJ \ge r^3$ .

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