corrigé: 2002: Racines d'un polynôme dans C (4,5)

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Physique

Electromégnétisme

Corrigé 2001 : spectrographie de masse

Terminale S1 et S3

corrigé: 2002: Racines d'un polynôme dans C (4,5)

Détails: Catégorie : algèbre

$Q(z)=z^{3}-(i+2i\cos \alpha )z^2-(1+\cos \alpha)^2z+i(1+\cos^2\alpha )$

z élément de $\mathbb{C}$ , $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$

a,b,c les trois racines de Q(z).

1^ereméthode

1. calcul de a+b+c, ab+ac+bc, abc

si a,b,c sont les racines de Q(z) alors on a :

Q(z)=(z-a)(z-b)(z-c)

C'est à dire $Q(z)=\left( z^2-\left( a+b\right) z+ab\right) \left( z-c\right)$

$=z^{3}-cz-(a+b)z^2+(ac+bc)z-abc$

$=z^{3}-(a+b+c)z^2+(ac+bc+ab)z-abc$

par identification on trouve :

$\left\{ \begin{array}{c} a+b+c=i+2i\cos \alpha \\ ac+ab+bc=-(1+\cos \alpha ) {{}^2} \\ abc=-i(1+\cos {{}^2} \alpha ) \end{array} \right.$

2. la somme de $2$ de ces racines est : $2i\cos \alpha$

soit $a+b=2i\cos \alpha$

$a+b+c=I+2i\cos \alpha$ donc $c=I$

on a $\left\{ \begin{array}{c} a+b=2i\cos \alpha \\ abc=-i(1\cos {{}^2} \alpha ) \end{array} \right.$

d'où $\left\{ \begin{array}{c} a+b=2i\cos \alpha \\ ab=-(1+\cos {{}^2} \alpha ) \end{array} \right.$

c'est à dire a et b sont solutions de l'équation $z^2-2i\cos \alpha z-(1+\cos ^2\alpha )=0$

on calcule $\Delta ^{\prime }=i^2\cos ^2\alpha +1+\cos^2\alpha =1$

$z^{\prime }=i\cos \alpha +1$

$z"=i\cos \alpha -1$

d'où les racines de $Q(z)$ sont : $i,1+i\cos \alpha ,-1+i\cos\alpha$

$S=\left\{ i;1+i\cos \alpha ;-1+i\cos \alpha \right\}$

2} même méthode

3) soit $z_{0}=ix$ une racine imaginaire pure de $Q(z)$ alors :

$z_{0}-(i+2i\cos \alpha )z_{0}^2-(1+\cos \alpha )^2 z+i(1+\cos ^2\alpha )=0$

$-ix^{3}+(i+2i\cos \alpha )x^2-(1+\cos \alpha )^2-(1+\cos \alpha )^2 ix+i(1+\cos ^2\alpha )=0$

$-x^{3}+(1+2\cos \alpha )x {{}^2} -(1+2\cos \alpha ) {{}^2} x+(1+\cos {{}^2} \alpha )=0$

$x=1$ est solution de cette équation

$-1+1+2\cos \alpha -(1+2\cos \alpha +\cos ^2\alpha )+1+\cos ^2\alpha =0$

et on obtient : $(x-1)(x^2-2x\cos \alpha +1+\cos ^2\alpha )=0$

or $x$ étant réel, donc la seule solution réelle est $x=1$

et on a : $\mathbf{z}_{0}\mathbf{=i}$

or $x$ étant réel, donc la seule solution réelle est $x=1$ et on a

4) on a

$Q(z)=(z-i)(z^2+a_{1}z+a_{2})$

$=z^{3}+a_{1}z^2+a_{2}z-iz-iz^2-a_{1}iz-a_{2}i$

$=z^2+(a_{1}+-i)z^2+(a_{2}-a_{1}i)z-a_{2}i$

d'où

$\left\{ \begin{array}{c} a_{1}-i=-i-2\cos \alpha \\ a_{2}-a_{2}i=-(1+\cos \alpha ) {{}^2}\\ a_{2}i=-i-i\cos {{}^2} \alpha \end{array} \right.$

$a_{1}=-2i\cos \alpha$

$a_{2}=-(1+\cos ^2\alpha )$

$Q(z)=(z-i)(z^2-2zi\cos \alpha -(1+\cos ^2\alpha ))$

$=\left( z-i\right) \left( z-1-i\cos \alpha \right) \left( z+1+i\cos \alpha\right)$

d'où les racines de $Q(z)$ sont : $i;1+i\cos \alpha ;-1+i\cos \alpha$

$a=1+i\cos \alpha$

$b=-1+i\cos \alpha$

$c=i$

$\left\vert a\right\vert =\sqrt{1+\cos ^2\alpha }$

Soit $\beta$ un argument de a :

$\cos (\beta )=\frac{1}{\sqrt{1+\cos ^2\alpha }};\sin (\beta )=\frac{\cos \alpha }{\sqrt{1+\cos ^2\alpha }}$

6) Soit S la similitude directe de centre $W(C)$ et telle que $S(B)=A$ avec $B(b),A(a).$

Calculons :

$\frac{z_{A}-z_{w}}{z_{B}-z_{w}}=\frac{1+i\cos \alpha -i}{-1+i\cos \alpha -i}=\frac{1+i(\cos \alpha -1)}{-1+i(\cos \alpha -1)}$

$=\frac{\left[ 1+i(\cos \alpha -1)-1-i(\cos \alpha -1)\right] }{1+(\cos\alpha -1)^2}}$

$=\frac{-(1-(\cos \alpha -1)^2}+2i(\cos \alpha -1))}{1+(\cos \alpha -1)^2}}$

On a : Pour tout point $M(z)$ et $M\prime (z\prime )$ son image par $S$ : $z^{\prime }-z=\frac{z_{A}-z_{w}}{z_{B}-z_{w}}.(z-z_{w})$

$S$ est bien la rotation de centre $W$ et d'angle $\arg (\frac{z_{A}-z_{w}}{z_{B}-z_{w}})$

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