2002 : Racines d'un polynôme dans C (4,5)

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Catégorie : algèbre

On pose  où z désigne un nombre complexe, i l’unité imaginaire pure,  un nombre réel tel que . Les trois racines de Q(z) sont désignées par a, b et c respectivement. On veut déterminer les racines Q(z) de deux façons différentes façon :

1. Sans calculer et .

2. Sachant que la somme de deux de ces racines est égale à ), utiliser les résultats précédents pour résoudre l’équation Q(z)=0.

3. montrer que Q(z) a une racine imaginaire pure que l’on déterminera.

4. En déduire les autres racines de Q(z).

5. a étant la racine de Q(z) dont la partie réelle est positive, donner son module en fonction de    et déterminer le cosinus et le sinus de son argument en fonction de .

6. Le plan est rapporté à un repère orthonormé    ; soit la similitude directe de centre le point   d’affixe c, c étant la racine imaginaire pure de Q(z) et qui transforme le point B d’affixe b en A d’affixe a. Donner l’écriture complexe de f. Déduire de cette écriture que f est une rotation de centre .

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