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corrigé: 2000:Nombres complexes et ensemble de points (08 pts)

Détails: Catégorie : algèbre

1- a) Ensemble des points invariants $(I)$

$m(z)$ invariant $\Longleftrightarrow$ $z=f(f)=\frac{1}{2}(z-\frac{1}{z})$

$\Longleftrightarrow z=i$ $ou$
$z=-i$

$(I)=\left\{ m_{1}(i),\text{ }m_{2}(-i)\right\}$

b) $M(Z)$ est l'image d'un point $m(z)$ si et seulement si $Z=\frac{1}{2} (z-\frac{1}{z})$ $\Longleftrightarrow z {{}^2}-2z-1=0$ $(1)$ car $z\neq 0$

cette équation $(1)$ admet deux solutions dans $\mathbb{C}$ , $z_{1}$ et $z_{2}$

on a $M(Z)$ est l'image de $m(z_{1})$ et $m(z_{2})$

. Le discriminant réduit de cette équation (1) est : $\Delta ^{\prime }=Z {{}^2} +1$ en posant ${{}^2} =\Delta$

on a $z_{1}=Z-z$ et $z_{2}=Z+z$

Le milieu $\left[ m_{1}m_{2}\right]$ de a pour affixe $\frac{z_{1}+z_{2}}{2} =Z$

donc $M$ est le milieu de $\left[ m_{1}m_{2}\right]$

2- a) $g(x)=$ $\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})$

$g$ est définie sur $\left] -\infty ;0\right[ \cup \left] 0;+\infty \right[$

$\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }g(x)=-\infty$ $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }g(x)=+\infty$

$\underset{x\rightarrow \rightarrow 0^{-}}{\lim }g(x)=+\infty$ $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim }g(x)=-\infty$

$g\prime (x)=$ $\frac{1}{2}(1+\frac{1}{x {{}^2} })>0$

b) L'image par $F$ de l'ensemble des points de l'axe réel de $P^{\ast }$ est l'axe réel .

3) a)

$\frac{Z+i}{Z-i}=\frac{\frac{1}{2}(z-\frac{1}{z})+i}{\frac{1}{2}(z-\frac{1}{z })-i}=\frac{z {{}^2} +2iz-1}{z {{}^2} -2iz-1}=(\frac{z+i}{z-i})^{2}$

on en déduit que $\left( \overrightarrow{MU},\overrightarrow{ MU^{\prime }}\right) =2(\overrightarrow{mU},\overrightarrow{mU^{\prime }})$

.Soit $m$ un point de $(G)$ et M son image on a d'aprés le a)

$\left( \overrightarrow{MU},\overrightarrow{MU^{\prime }}\right) =2( \overrightarrow{mU},\overrightarrow{mU^{\prime }})$

$=2\frac{\pi }{2}(2\pi )$ en prenant m dans le

demi cercle donc $\left( \overrightarrow{MU},\overrightarrow{MU^{\prime }} \right) =\pi (2\pi )$ donc $M$ $\in$ $[UU\prime ]$

.Soit $M$ un point de $[UU\prime ]$

on sait d'après le 1-b) que $M$ admet deux antécédents qui vérifient

$\left( \overrightarrow{MU},\overrightarrow{mU^{\prime }}\right) =2( \overrightarrow{m_{1}U},\overrightarrow{m_{1}U^{\prime }})$

$=2(\overrightarrow{m_{2}U}, \overrightarrow{m_{2}U^{\prime }})$

si $M\in \lbrack UU\prime ]$ alors $\left( \overrightarrow{MU}, \overrightarrow{MU^{\prime }}\right) =\pi (2\pi )$

donc $\left\vert (\overrightarrow{m_{1}U},\overrightarrow{m_{1}U^{\prime }} )\right\vert =\left\vert (\overrightarrow{m_{2}U},\overrightarrow{ m_{2}U^{\prime }})\right\vert =\frac{\pi }{2}$

d'où sont des points de $(G)$ de diamétre $[UU\prime ]$

par suite l'image par F de $(G)$ est le segment $[UU\prime ]$

4-a) $Z=\frac{1}{2}(z-\frac{1}{z})\ \$ comme $z=re^{i\theta }$

on a $Z=\frac{1}{2}\left( re^{i\theta }-\frac{1}{r}e^{i\theta }\right) = \frac{1}{2r}\left( r {{}^2} \cos \theta +ir {{}^2} \sin \theta -\cos \theta +\sin \theta \right)$

$=\frac{r {{}^2} -1}{2r}\cos \theta +i\frac{r {{}^2} +1}{2r}\sin \theta$

b) En appelant $X$ et $Y$ les cordonnées de $M$ on a : $\left\{ \begin{array}{c} X=\frac{r {{}^2} -1}{2r}\cos \theta \\ Y=\frac{r {{}^2} +1}{2r}\sin \theta \end{array} \right.$

donc en posant $\frac{r {{}^2} -1}{r}=a$ et $\frac{r {{}^2} +1}{r}=b$

on a $\frac{X {{}^2} }{a {{}^2} }+\frac{Y {{}^2} }{b {{}^2} }=1$

$M$ est un point de l'ellipse $E_{r}$

c) Pour $r=2$ on a : $a=\frac{3}{2}$ \ $b=\frac{5}{2}$

donc $E_{r}:$ $\frac{X {{}^2} }{\frac{9}{4}}+\frac{Y {{}^2} }{\frac{25}{4}}=1$

$E_{r}$ est l'ellipse de foyer $F\left( \begin{array}{c} 0 \\ \frac{4}{2} \end{array} \right)$ de directrice $Y\left( \frac{25}{8}\right)$ d'excentricité $e=\frac{4}{5}$ et de centre $O$