2000 : Nombres complexes et ensemble de points (08 pts)

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Catégorie : algèbre

 

Le plan affine (P) est muni d’un repère orthonormal direct ; on note

L’ensemble des nombres complexes non nuls ; (P*) le plan (P) privé de O .

Soit l’application f de C dans C  définie par  

 

On note F  l’application de P* dans P qui à tout point m de P* d’affixe z fait correspondre le point M d’affixe :    Z = f ( z ).

 

1-a)  Déterminer l’ensemble des points invariants par F .

 

b) soit M(Z) un point de P*  non invariant par F . Montrer que M est l’image par F de deux points   de P*. Vérifier que M est le milieu de  . 

 

c) on note A (1+i) , placer  A et B , en déduire la construction de l’image  par F .

 

2) dans cette question on cherche l’image de l’axe   privé de 0.

   

Soit g la fonction numérique définie par 

 

a) Etudier les variations de g .

 

b) En déduire l’image par F de l’ensemble des points de l’axe réel de P*  .

 

3) Recherche de l’image du cercle de centre 0 de rayon 1 .

 

a) Soit z un nombre complexe non nul distinct de i et –i d’image Z par f , Exprimer en fonction  de

   En déduire une relation entre et , où U et U’ sont respectivement  U(i )  et U’(-i)

 

b) Soit (G) le cercle de diamètre .

• Montrer que l’image M de tout point m de (G) est un point de . .

• Soit M un point de . , vérifier que M est l’ image de deux points de (G) .

           quelle est donc l’image par f de (G) ?

 

4) Recherche de l’image d’un cercle (G’) de centre o et rayon .

    Soit m un point de (G’) d’affixe z.

 

a) Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z en fonction du module r et d’un argument de z .

 

b) en déduire que m est un point d’une conique E , dont on donnera la nature .

 

c) Donner les éléments géométriques de et construire .

5) Image de où

 

a) Ecrire une équation paramétrique de D* .

 

En déduire les coordonnées X et Y du point M image de m par F .

 

b) Montrer que M appartient à une hyperbole dont on précisera une équation cartésienne.

 

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