Suites arithmétiques

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Suites arithmétiques

Terminale L

Suites arithmétiques

Détails: Catégorie : Suites numériques

1)Définition

Une suite $(U_{n})_{n\in \mathbb{N}$ est une suite arithmétique signifie qu'il existe un réel r

tel que pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $U_{n+1}-U_{n}=r.$

Le réel r est la raison de la suite.

Exemples

a) L'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels 0,1,2,...,n,.. est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 0.

b) Soit $(U_{n})_{n\in\mathbb{N}$ telle que $U_{n}=-3n+5$

$U_{n+1}-U_{n}=-3(n+1)+5-(-3n+5)$

$=-3n-3+5+3n-5$

$=-3n+3n+5-5-3=-3$

$U_{n+1}-U_{n}=-3$ ou $U_{n+1}=U_{n}-3.$

$U_{n}$ est donc une suite arithmétique de raison -3.

2) Terme général d'une suite arithmétique

$(U_{n})_{n\in \mathbb{N}$ suite arithmétique de raison r et de premier terme $U_{0}$ ,

le terme général $U_{n}$ s'écrit: $U_{n}=U_{0}+nr$

De façon générale, p étant un entier naturel tel que $p\leq n:U_{n}=U_{p}+(n-p)r.$

Exemple:

$(U_{n})$ étant la suite du 1) b) $U_{100}=U_{20}+(100-20)\times r$

$\bigskip =U_{20}+80\times -3$

$=U_{20}-240$

3) Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique

$(U_{n})$ une suite arithmétique, p un entier naturel tel que $p\leq n.$

La somme $S=U_{p}+U_{p+1}+...+U_{n}=\frac{(n-p+1)}{2}(U_{p}+U_{n}).$

$=\frac{\textrm{nombre de termes}}{2}\times(\textrm{premier terme} +\textrm{ dernier terme})$

Ainsi la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme $U_{0}$ et de raison q est :

$S=U_{0}+U_{1}+...+U_{n-1}=\frac{n}{2}(U_{0}+U_{n-1}).$

Exemple

$S=1+2+3+....+n=\frac{n}{2}(1+n)$

c'est la somme des n premiers entiers naturels non nuls.

$(U_{n})$ est la suite définie par $U_{n}=-3n+5$

$T=U_{20}+U_{21}+....U_{100}$ ,

cette somme comporte $(100-20+1)=81$ termes d'où

$T=\frac{81}{2}(U_{20}+U_{100})=\frac{81}{2}(U_{20}+U_{20}-240)$

$U_{20}=-3\times 20+5=-55$

$T=\frac{81}{2}(-110-240)=\frac{81}{2}(-350)=-14175$

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