Suites géométriques

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2005 : Criquets pélerins

1) Définition

Une suite $(U_{n})_{n\in\mathbb{N}$ est une suite géométrique signifie qu'il existe un réel q tel que pour tout $n\in\mathbb{N}$ ,

$U_{n+1}=q\times U_{n}.$

Le réel q est la raison de la suite.

Exemples

a) La suite définie par $U_{n}=2^{n}$ est telle que $U_{n+1}=2^{n+1}$

$U_{n+1}=2\times 2^{n}=2U_{n}$

(U $_{n}$ ) est une suite géométrique de raison q=2.

b) Un cactus mesure 1,50 m et sa taille s'accroît chaque année de 5% de sa taille de l'année précédente.

On pose $U_{0}=1,50$ et on note $U_{n}$ la taille du cactus au haut de n années.

i) Calculer $U_{1}$ et $U_{2}$

ii) Montrer que la suite $(U_{n})_{n\in\mathbb{N}$ est géométrique.

Réponse

i) $U_{1}=U_{0}+5\%U_{0}=U_{0}+\frac{5}{100}U_{0}=(1+0,05)U_{0}$

$U_{1}=1,05U_{0}=1,05\times 1,5=1,575m$

$U_{2}=1,05U_{1}=1,05\times 1,575$

ii) $U_{n+1}=U_{n}+5\%U_{1}=U_{n}+\frac{5}{100}U_{n}=(1+0,05)U_{n}$

$U_{n+1}=1,05U_{n.\text{ }}.$

$(U_{n})$ est ainsi une suite géométrique de raison $q=1,05$ .

2) Terme général d'une suite géométrique

$(U_{n})_{n\in\mathbb{N}$ suite géométrique de raison q et de premier terme $U_{0}$ , le terme général $U_{n}$ s'écrit :

$U_{n}=q^{n}U_{0}$

De façon générale, $p$ étant un entier naturel tel que $p\leq n$

$U_{n}=q^{n-p}U_{0}$

Exemple

$(U_{n})_{n\in\mathbb{N}$ suite définie en 1) exemple b

$U_{n}=(1,05)^{n}U_{0}=1,5\times (1,05)^{n}$

3) Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique

{tex}(U_{n}){/tex} une suite géométrique de raison q, p un entier naturel tel que $p\leq n$

La somme $S=U_{p}+U_{p+1}+...+U_{n}=U_{p}\frac{1-q^{(n-p+1)}}{1-q}$

Exemples

a) $S=1+2+2^{2}+2^{3}+...+2^{n}=1\times \frac{1-2^{n+1}}{1-2}=\frac{1-2^{n+1}}{-1}$

$S=2^{n+1}-1$

S est la somme de (n+1) termes d'une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 1.

b) La somme des 10 premiers termes de la suite $(U_{n})$ défini dans l'exemple 1) b).

$T=U_{0}+U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}+U_{5}+U_{6}+U_{7}+U_{8}+U_{9}$

$=U_{0}\frac{1-q^{10}}{1-q}=1,5\frac{1-(1,05)^{10}}{1-1,05}=\frac{1,5((1,05)^{10}-1)}{0,05}=\frac{1,5\times (0,628895)}{0;05}$

$T=12,5779$ .

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