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Corrigé Epreuve 2010 :prix d’un livre

Détails: Catégorie : Suites numériques

1) $P_1=P_0 + 10\%P_0$

Or 10\% = 0,1

$P_1=P_0 + 0,1 P_0$

Aussi $P_1 = 1,1 P_0$

$P_2 = P_1 + 10\%P_1$

d'où $P_2 = 1,1 P_1$

Calcul de $P_1 = 1,1 \times 2000$

P $_1$ = 2200 F

Calcul P $_2$ : P $_2$ = 2420 F

2)

a)

$P_{n+1}=P_{n} + 10\%P_n$

donc $P_{n+1}= 1,1 P_{n}$

donc P $_{n}$ est une suite géométrique de raison 1,1.

b)

Comme P $_{n}$ est la suite géométrique de raison 1,1 et de premier terme P $_{0}$ .

$P_{n} = P_0 \times q^n$

$P_{n} = 2000(1,1)^n$ avec $n\in N$

3)

$S = P_0 + P_1 + ...+ P_{10}$

$S = P_{0} \left( \frac{q^{11}-1}{q-1} \right)$

$S = 2000 \left( \frac{(1,1)^{11}-1}{1,1-1} \right)$

S = 37062 à l'unité près.

4)

$P_n > 10000$

$2000(1,1)^{n} > 10000$

$(1,1)^{n} > \frac{10000}{2000}$

$(1,1)^{n} > 5$

$ln(1,1)^{n} > ln5$

$nln(1,1) > ln5$

$n > \frac{ln5}{ln(1,1)}$

n $_{minimal}$ = partie entière $\left[\frac{ln5}{ln(1,1)}\right] + 1$

n $_{minimal}$ = 17

C'est à partir de 2027.

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