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Corrigé 2005 : mouvement d'une bille dans du glycérol

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1. Représentation des forces appliquées à la bille

2. Application de la deuxième loi de Newton ou théorême du
centre d'inertie

$\dsum \overrightarrow{F}_{ext}(bille)=m\overrightarrow{a}\implies \overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}+\overrightarrow{f}=m\overrightarrow{a}$

En projetant la relation vvectorielle suivant l'axe x'x on obtient

$P-F-f=ma$

$ma=m\frac{dV}{dt}$ ; $P=mg$ ; $F=\rho gV_{0}$ ; $f=6\pi\eta rV$

$mg-\rho gV_{0}-6\pi \eta rV=m\frac{dV}{dt}\implies \frac{dV}{dt}=g-\frac{\rho gV_{0}}{m}-\frac{6\pi \eta rV}{m}$

$\implies \frac{dV}{dt}+\frac{6\pi \eta rV}{m}=g\left(1-\frac{\rho V_{0}}{m}\right)$ or $m=\rho _{ver}\times V_{0}$

$\implies \frac{dV}{dt}+\frac{6\pi \eta rV}{m}=g\left(1-\frac{\rho }{\rho _{ver}}\right)$

3. Vitesse limite dela bille

4.a. Graphiquement il faut prolonger la partie horizontale de la courbe sur l'axe des ordonnées pour avoir la valeur de la vitesse limite.

On sait que $V_{L}=\frac{2r^{2}\timesg}{9\eta }\left(\rho_{ver}-\rho \right)$

On en déduit $r=\sqrt{\frac{V_{L}\times9\eta }{2\times g\times\left(\rho _{ver}-\rho \right) }};$ la masse m de la bille est $m=\rho_{ver}\times V=\rho _{ver}\times \frac{4\pi r^{3}}{3}$

$m=\rho _{ver}\times \frac{4\pi r^{3}}{3}$

A.N : $r=4,64.10^{-3}m$ et $m=1g$

4.b. Vitesse limite d'une bille de rayon 2r

$V_{L}^{^{\prime }}=\frac{2\left( 2r\right) ^{2}\timesg}{9\eta } \left(\rho _{ver}-\rho \right) =4\frac{2r^{2}\timesg}{9\eta }\left( \rho _{ver}-\rho \right) =4V_{L}$

$V_{L}^{^{\prime }}=4V_{L}=0,15m/s$

4.c. Durée d'atteinte de la vitesse limite

D'aprés le graphe $v=f(t)$ la vitesse limite est atteinte au bout de $t_{L}=35s$

5. La loi de variation de la vitesse de la bille, lachée dans le vide
est $v=g\times t$

car la bille tombe en chute libre selon la loi $x=\frac{1}{2}g\times t^{2}$

La courbe de variation de V est une droite passant par l'origine.

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