Révision : Dénombrement

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Révision : Dénombrement

Terminale L

Révision : Dénombrement

Détails: Catégorie : Probabilités

A) Cardinales de la réunion de deux ensembles

$A$ et $B$ deux ensembles non vides.

$Card(A\cap B)=cardA+cardB-cardA\cap B$

Exemples :

Dans un couple de 25 élèves, 20{ élèves étudient l'anglais et 15 élèves étudient l'espagnol. Calculer le nombre d'élèves qui étudient à la fois les deux langues.

Soit $A$ l'ensemble des élèves qui étudient l'anglais et $B$ l'ensemble des élèves qui étudient l'espagnol, $E$ l'ensemble des élèves.

L'ensemble des élèves qui font les deux langues est $A\cap B.$

$E=A\cap B$ .

$CardE=card(A\cap B)=cardA+cardB-cardA\cap B=20+15-cardA\cap B$

$CardA\cap B=35-25=10$

Il y'a 10 élèves qui étudient à la fois les deux langues.

B) Nombre de suites à p éléments

Le nombre de suites à $p$ éléments ou $p-listes$ d'un ensemble à $n$ éléments, chacun pouvant être répétés plusieurs fois, est : $n^{p}$

Exemple :

Combien de mots de $5$ lettres peut-on écrire avec les lettres a, b et c ?

Ici $n=3$ et $p=5$ ?

Un mot est une suite de $5$ lettres, chacune pouvant être répétées plusieurs fois.

La réponse est $3^{5}=243$

C) Nombre de suites à p éléments distincts ou arrangements de p éléments.

Le nombre d'arrangements de p éléments d'un ensemble à n éléments (p $\leq$ n) est

$A_{n}^{p}=n(n-1)(n-2)...(n-p+1).$

Propriétés

- $A_{n}^{p}=\frac{n!}{(n-p)!}$

- $A_{n}^{n}=n!$

Exemple : Le nombre de classements dans l'ordre de $4$ équipes pour deux places (sans ex aequo) est

$A_{4}^{2}=4\times3=12.$

D) Nombres de parties à p éléments d'un ensemble à n éléments.

Le nombre de parties à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments $(p\leq n)$ est:

$C_{n}^{p}=\frac{A_{n}^{p}}{p!}=\frac{n!}{(n-p)!p!}$

Les parties à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments s'appellent des combinaisons de $p$ éléments parmi $n$ .

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