Corrigé Epreuve 2007 :code PIN d'un téléphone portable

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Catégorie : Probabilités

1) a) Chaque code est une 4-liste de l'ensemble {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Le nombre de codes possibles est donc : 10 = 10 000.

1) b) Les codes formés de quatre chiffres deux à deux distincts sont les arrangements à quatre éléments de l'ensemble {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Leur nombre est : A = 5040.

2) a) Les codes qu'il peut composer sont les "anagrammes" du mot "1995".

Leur nombre est : .

2) b) Tout d'abord, convertissons 24 h en minutes.

24 h = 24 60 = 1440.

S'il fait 2 essais, il aura attendu 2 min, s'il fait 3 essais, 2 +2 = 6 min, s'il fait 4 essais, 2 + 2 + 2

= 14 min, etc. Ainsi, s'il essaie n codes, il aura attendu au total min. On reconnaît là la somme des termes d'une suite géométrique de raison 2. Le total d'attente pour n essais est, d'après une formule du cours, .

Nous voulons que ce temps total n'excède pas 24 h, soit 1440 min, donc que :

.

On peut utiliser les logarithmes, ou essayer de "petites" valeurs de n. On trouve facilement avec la machine : 2 = 512 et 2 = 1024. Comme 512 < 721 < 1024, on en conclut qu'il pourra introduire au maximum 9 codes en 24 h.

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