2009 : « jeu de plongeon » à la piscine

 

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Des élèves se fixent comme objectif  d’appliquer leurs connaissances en mécanique au « jeu de plongeon ».

Ce jeu, réalisé à la piscine, consiste à passer au dessus d’une corde puis atteindre la surface de l’eau en un point le plus éloigné possible du point de départ avant de commencer la nage. Le bassin d’eau a pour longueur L = 20 m et est suffisamment profond. Le plongeur doit quitter un tremplin ; à ce moment son centre d’inertie G est à une hauteur h_1 = 1,5 m au dessus de la surface de l’eau. La corde, tendue horizontalement, est attachée à une distance l = 1,6 m du tremplin. Elle est à une hauteurh_2 = 2 m du niveau de l’eau (voir figure ci-dessous).



Au cours d’une simulation, les élèves font plusieurs essais en lançant, avec un dispositif approprié, un solide ponctuel à partir du point G.  Les essais diffèrent par la valeur du vecteur-vitesse initial du solide ou par l’angle dudit vecteur avec l’horizontale.

Le mouvement du solide est étudié dans le repère \left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right). Le point O est le point d’intersection entre la verticale passant par la position initiale de G et la surface de l’eau.

La direction de l’axe \vec{i} est perpendiculaire au plan vertical contenant la corde, comme indiqué sur la figure.

On néglige les frottements et on prendra  g = 10 m.s^{-2}.

3.1. Lors d’un premier essai, le solide est lancé du point G, à la date t = 0,  avec une vitesseV_0   faisant un angle \alpha = 45° avec l’horizontale, de valeur V_0 = 8 m.s^1 et appartenant au plan vertical défini par \left(\vec{i},\vec{k}\right).

3.1.1. Établir les équations paramétriques du mouvement du solide. En déduire l’équation cartésienne de sa trajectoire.     (01 pt)

3.1.2. Le solide passe-t-il au dessus de la corde ? Justifier la réponse.    (0,75 pt)

3.1.3. Au cas où le solide passe au-dessus de la corde, quelle distance le sépare-t-il de la ligne d’arrivée lorsqu’il touche l’eau ? (0,75 pt)

3.1.4. Calculer la norme du vecteur vitesse et l’angle \beta que ce vecteur forme avec la verticale descendante lorsque le solide touche l’eau.     (01 pt)

3.2. Dans un second essai, les élèves voudraient que le solide touche l’eau en un point distant de 8 m de la ligne d’arrivée. Quelle doit être alors la valeur de la vitesse initiale pour  \alpha = 45° ?    (0,5 pt)

 

 

La suite est réservée aux séries S1 et S3

3. Au troisième essai, le solide est lancé à t = 0 du point G  avec une vitesse  \vec{V'}_{0} appartenant au plan vertical défini par \left(\vec{i},\vec{k}\right) et de valeur V’_{0} = 11 m.s^{-1}.
 
3.3.1. Déterminer la valeur de l’angle \alpha’ que doit faire \vec{V'}_{0}avec l’horizontale pour que le solide touche l’eau à 8 m de la ligne d’arrivée, comme précédemment. On montrera que la question admet deux solutions et on portera le choix sur la valeur de l’angle \alpha’ pour laquelle la durée de chute est plus courte (le solide fait moins de temps entre le point de départ et le point de chute).(01,25 point)

3.3.2. Pour lequel des essais décrits en 3.2 et 3.3.1, le solide s’élève-t-il plus au-dessus de la corde ? Justifier la réponse par le calcul (0,5 pt)

 

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