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Corrigé Epreuve 2011 :Fonction

Détails: Catégorie : Analyse

$f(x)=x-1+\ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right)$

1) Etudions le signe de $\frac{x-1}{x+1}$

On établit un tableau de signe

On voit donc que $\frac{x-1}{x+1}>0$ si $x \in ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$

$\frac{x-1}{x+1} \leq si x \in ]-1,1]$

On a f(x) existe si et seulement si $\frac{x-1}{x+1}>0$ d'où :

$D_f = ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$

2) Déterminons les limites de f aux bornes de $D_f$

$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)= \lim\limits_{x \to -\infty}\left(x - 1 + \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) \right) = - \infty$ car

$\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{x-1}{x+1} = 1$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \ln 1 = 0$

donc $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) =\lim\limits_{x \to -\infty} \left(x - 1 \right) = - \infty$

$\lim\limits_{x \to -1^{-}}f(x) = +\infty$ car $\lim\limits_{x \to -1^{-}}\frac{x-1}{x+1} = +\infty$

et $\lim\limits_{x \to -1^{-}}\ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right) = +\infty$

$\lim\limits_{x \to 1^{+}}f(x) = -\infty$ car $\lim\limits_{x \to 1^{+}}\frac{x-1}{x+1} = 0^{+}$

et $\lim\limits_{x \to 1^{+}}\ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right) = -\infty$

$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = +\infty$ car $\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{x-1}{x+1} = 1$

et $\lim\limits_{x \to +\infty}\ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right) = 0$

donc $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) =\lim\limits_{x \to +\infty} \left(x - 1 \right) = + \infty$

Etablissons le tableau de variations de f

f est dérivable sur $D_f$ car composée de fonctions dérivables et pour tout $x \in D_f$ on a :

$f'(x)=1+\frac{\left(\frac{x-1}{x+1} \right)'}{\left(\frac{x-1}{x+1} \right)}=1 + \frac{\frac{2}{(x+1)^2}}{\frac{x-1}{x+1}}$

$f'(x)=1+\frac{2}{(x+1)(x-1)}$

Or pour tout $x \in D_f$ f'(x) > 0, d'où f est strictement croissante

a) Vérifions que la droite ( $\Delta$ ) : y = x - 1 est asymptote à ( $C_f$ ).

On sait que $f(x)=x-1+\ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ donc

$f(x)-(x-1) = \ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ or

$\lim\limits_{x \to -\infty}\ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \lim\limits_{x \to +\infty}\ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \ln 1 = 0$

donc $\lim\limits_{x \to \pm \infty}\left( f(x) - (x - 1) \right) = 0$ d'où la droite ( $\Delta$ ) : y = x - 1 est asymptote à ( $C_f$ ).

b) Etudions la position de ( $\Delta$ ) par rapport à ( $C_f$ ). Il suffit pour cela d'étudier le signe de f(x) - (x - 1).

On sait que pour tout $x \in D_f$ , $f(x)-(x-1) = \ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ .

Etudions donc le signe de $\ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ pour tout $x \in D_f$ .

Pour tout $x \in D_f\ \ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right)>0\ si\ \frac{x-1}{x+1} > 1$

Soit $\frac{x-1}{x+1} - 1 > 0\ soit\ \frac{-2}{x+1} > 0$ soit x + 1 < 0 soit x < -1.

Ainsi si x < -1 on a f(x)-(x-1) > 0 donc ( $C_f$ ) est au dessus ( $\Delta$ ).

a) Déterminons les autres asymptotes.

Comme $\lim\limits_{x \to -1^{-}}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to 1^{+}}f(x)=-\infty$ , on en déduit que les droites d'équations x = -1 et x = 1 sont les autres asymptotes de ( $C_f$ ).

b) Montrons que I(0;-1) est centre de symétrie de ( $C_f$ ).

Il suffit de montrer que f(x) + f(-x) = - 2 pour tout $x \in D_f$ .

Or on a $f(x) + f(-x) = x-1+\ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right) + \left( -x-1+\ln \left(\frac{-x-1}{-x+1}\right) \right)$ pour tout $x \in D_f$ .

$f(x) + f(-x) = -2 + \ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right) + \ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$

$f(x) + f(-x) = -2 + \ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right) \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$

$f(x) + f(-x) = -2 + \ln 1$

$f(x) + f(-x) = -2$

Aussi I(0;-1) est bien centre de symétrie de ( $C_f$ ).

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