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Corrigé Epreuve 2008:Calcul intégral

Détails: Catégorie : Analyse

$g$ est définie par $g(x)=\frac{2x^{2}+x-5}{x^{2}+x-6}$

1) Donnons $Dg$

$g$ est définie si et seulement si $x^{2}+x-6\neq0$

$x^{2}+x-6=0$ si et seulement si $(x-2)(x+3)=0$ si et seulement si $x=2$ ou

$x=-3$

$Dg=\mathbb{R}\setminus \left\{-3,2 \right\}$

2) Déterminer les réels $a$ , $b$ , $c$ tels que pour tout $x \varepsilon Dg$ ;

$g(x)=a+\frac{b}{x-2}+\frac{c}{x+3}$

$g(x)=a+\frac{b}{x-2}+\frac{c}{x+3}=\frac{a(x^{2}+x-6)+b(x+3)+c(x-2)}{(x-2)(x+3)}$

$g(x)=\frac{ax^{2}+(a+b+c)x+(-6a+3b-2c)}{x^{2}+x-6}$

_donc

$\left\{ \begin{array}{ll} a=2 \\ a+b+c=1 \\ -6a+3b-2c=-5 \end{array} \right.$ ceci qui entraine

$\left\{ \begin{array}{ll} a=2 \\ b=1 \\ c=-2 \end{array} \right.$

3) Soit la fontion $G$ définie sur $\left[3,5\right]$

par $G(x)=2x+\ln(x-2)+\ln(x+3)$ Montrons que $G$ est une primitive de $g$

sur $\left[3,5\right]$ . $G$ est bien définie , continue et dérivable pour tout $x>2$ et $x>-3$ , enparticulier sur $\left[3,5\right]$

On a donc:

- $g$ est définie sur $\left[3,5\right]$ .

- $\forall x \varepsilon \left[3,5\right]$ , $G$ continue et dérivable et

$G'(x)=2+\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x+3}=g(x)$

ce qui entraine que $G$ est une primitive de $g$ sur

$\left[3,5\right]$ .

4) Calculons l'intégrale $I=\int_{3}^{5}g(x)dx$

$I=\int_{3}^{5}g(x)dx=\int_{3}^{5}G'(x)dx=G(5)-G(3)$

$I=10+\ln3-2\ln8-(6+\ln1-2\ln6)$

$I=4+\ln3-6\ln2+2\ln6$

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