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Corrigé Epreuve 2008 : Fonction

Détails: Catégorie : Analyse

$f$ est définie par $f(x)=\frac{x^{2}+x-2}{x+1}$

1) Déterminons $Df$

$f(x)$ existe si et seulement si $x+1\neq0$ si et seulement si $x\neq-1$

$Df=\mathbb{R}\setminus \left\{-1 \right\}=\left[-\infty,-1\right[\cup\left]-1,+\infty\right]$

Etude des limites

$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) =\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{x^{2}+x-2}{x+1}=\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{x^{2}}{x}=\lim\limits_{x \to -\infty}x=-\infty,$

$\lim\limits_{x \to -1^{-}}f(x) =\lim\limits_{x \to -1^{-}}\frac{x^{2}+x-2}{x+1}=+\infty$ car $\left\{ \begin{array}{ll} x^{2}+x-2\rightarrow -2 \\ x+1 \rightarrow 0^{-}. \end{array} \right.$

$\lim\limits_{x \to -1^{+}}f(x) =\lim\limits_{x \to -1^{+}}\frac{x^{2}+x-2}{x+1}=+\infty$ car $\left\{ \begin{array}{ll} x^{2}+x-2\rightarrow -2 \\ x+1 \rightarrow 0^{+}. \end{array} \right.$

$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) =\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{x^{2}+x-2}{x+1}=\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{x^{2}}{x}=\lim\limits_{x \to +\infty}x=+\infty,$ <br>

2) $a)$ Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=x$ est asymptote oblique à
$(\mathcal{C}f)$

On a: $\lim\limits_{x \to \infty}f(x)-x =\lim\limits_{x \to \infty}\frac{x^{2}+x-2}{x+1} -\frac{x^{2}+x}{x+1}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{-2}{x+1}=0$

Donc $(D)$ est asymptote oblique à $(\mathcal{C}f)$ . L'autre asymptote est la
droite d'équation $x=-1$ car en $-1$ $f$ tend vers l'infini.

b) Etudions la position de $(\mathcal{C}f)$ par rapport à $(D)$

On a $f(x)-x=\frac{-2}{x+1}$ ,

$\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{-2}{x+1}=0^{+}$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{-2}{x+1}=0^{-}$

Donc $(\mathcal{C}f)$ est au dessus de $(D)$ au voisinage de $-\infty}$ et en
dessous de $(\mathcal{C}f)$ au voisinage de $+\infty}$

3) Montrons que le point $S(-1,-1)$ est centre de symétrie de $(\mathcal{C}f)$ .

On a:
$f(2(-1)-x)=f(-2-x)=\frac{(-2-x)^{2}+(-2-x)-2}{(-2-x)+1}=\frac{-x^{2}-3x}{x+1}$

$2(-1)-f(x)=-2-\frac{x^{2}+x-2}{x+1}=\frac{-x^{2}-3x}{x+1}$

$f(2(-1)-x)=2(-1)-f(x)$ , donc $S(-1,-1)$ est centre de symétrie de $(\mathcal{C}f)$ .

4) Déterminons $f'(x)$ .

$f'(x)=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^{2}+x-2)}{(x+1)^{2}}=\frac{x^{2}+2x+3}{(x+1)^{2}}$

$f'(x)=0$ si et seulement si $x^{2}+2x+3=0$ , $\Delta=4-12=-8<0$

$f'(x)>0$ pour tout $x \in Df$

Le tableau des variations de $f$ est:

5) a) Montrer que $(\mathcal{C}f)$ rencontre l'axe des abscisses.

$(\mathcal{C}f)$ rencontre l'axe des abscisses en $y=0$ . Donc $f(x)=0$ c'est à dire $x^{2}+x-2$ =0 et $x+1\neq0$ , ce qui donne $=1$ ou $x=-2$

Donc $(\mathcal{C}f)$ rencontre l'axe des abscisses en $x_{A}=-2$ et $x_{B}=1$ .

Equation de la tangente en $A$ et $B$ : $x_{A}=-2$ , $y_{A}=0$ et

$f'(-2)=\frac{4-4+3}{1}=3$ ; donc $y=3(x+2)=3x+6$ Equation de la tangente

en $B$ : $x_{B}=1$ , $y_{B}=0$ et $f'(1)=\frac{5}{4}$ ; donc

$y=\frac{5}{4}(x-1)=\frac{5}{4}x-\frac{5}{4}$ Voici la courbe

$(\mathcal{C}f)$ , les asymptotes et les tangentes en $A$ et $B$ .

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