2018 : Problème

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Corrigé 2012 : Etude d'un dispositif de young

Terminale S1 et S3

2018 : Problème

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

Partie A (3 points)

1. Résoudre l’équation différentielle y' + y = 0. 0.5 pt

Soit $\varphi$ une application dérivable de $\mathbb{R}^\ast_+$ dans $\mathbb{R}$ , et soit g l’application numérique définie sur $\mathbb{R}^\ast_+$ par $g(x)=\varphi(x)e^x$ .

2. a. Vérifier que g est dérivable en tout point x de $\mathbb{R}^\ast_+$ et démontrer que

$\varphi$ , pour que vérifie $\forall\in\mathbb{R}^\ast_+,\varphi^\prime(x)+\varphi(x)=-\frac{1}{x}-lnx$ il faut et il suffit que g soit une primitive de l’application $x\mapsto -e^xlnx -\frac{e^x}{x}$ . 0.5 + 1 pt

b. Quel est l’ensemble des primitives de la fonction $x\mapsto -e^xlnx -\frac{e^x}{x}$ ? 0.5 pt

3. En déduire que l’ensemble des applications dérivables de $\mathbb{R}^\ast_+$ dans $\mathbb{R}$ vérifiant (1) est l’ensemble des applications $x\mapsto ae^{-x}-lnx$ où a désigne une constante réelle. 0.5 pt

Partie B (5.25 points)

Soit f l’application de $\mathbb{R}^\ast_+$ dans {tex}\mathbb{R}/tex} définie par : $\forall x\in\mathbb{R}^\ast_+,f(x)=e^{1-x}_lnx$ .

1. a. Etudier les variations de f et construire sa représentation graphique dans un repère orthonormé. 0.75 + 0.25 pt
Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique c et que $c\in]1,2[$ . 0.5 + 0.25 pt

b. Calculer $\lim_{x\to 0^+}f(x)$ . 0.25 pt

c. Soit x un élément de l’intervalle ]0,1].

Calculer l’intégrale $F(x)=\int^1_xf(t)dt$ en fonction de x. 0.5 pt

Montrer que lorsque x tend vers 0, F(x) tend vers e. 0.25 pt

2. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.

a. Montrer que, pour tout entier k tel que 1 = k = n - 1 et pour tout réel t tel que

{tex}\frac{k}{n}\leq t\leq\frac{K+1}{n},\quad on\,a\quad :\;f\left(\frac{k+1}{n}\right)\leq f(t)\leq f{\tex}. 0.25 pt

b. Montrer alors que

$\frac{1}{n}\sum^n_{k=2}f\left(\frac{k}{n}\right)\leq F\left({1}{n}\right)\leq\frac{1}{n}\sum^{n-1}_{k=1}f\left(\frac{k}{n}\right)$ . 0.5 pt

En déduire que $F\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{n}\leq\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}f\left(\frac{k}{n}\right)\leq F\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{n}f\left(\frac{1}{n}\right)$ . 0.25 pt

3. a. Déduire des questions précédentes que, lorsque n tend vers l’infini, admet une limite et calculer cette limite. 0.5 pt

b. Etablir les égalités :

$\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}e^{(1-k/n)}=(e-1)\frac{1}{n(e^{1/n}-1)}\frac{1}{n}\sum^n_{k=1}ln\left(\frac{k}{n}\right)=\frac{1}{n}ln\left(\frac{n!}{n^n}\right)$ 2 × 0.25 pt

c. Utiliser les résultats précédents pour démontrer que les deux suites définies par :

$u_n=\frac{1}{n}ln\left(\frac{n!}{n^n}\right)\quad et\quad v_n=\frac{n}{n\sqrt{n!}}$ .
ont des limites lorsque n tend vers l’infini et calculer ces limites. 2 × 0.25 pt

Partie C (2.75 points)

1. a. Déterminer le sens de variation de f' dans l’intervalle [1, 2]. 0.5 pt

Soit P l’application de $\mathbb{R}^\ast_+$ dans {tex}\mathbb{R}/tex} définie par :

$\forall x\in\mathbb{R}^\ast_+,P(x)=x-\frac{f(x)}{f'(1)}$ .

b. Etudier les variations de P dans l’intervalle [1, 2]. Montrer que P réalise une bijection de [1, c] sur un intervalle J contenu dans [1, c]. 0.5 + 0.25 pt
En déduire que l’on définit bien une suite $c_n$ d’éléments de [1, c] en posant $c_n=1$ et pour tout entier naturel n, $c_{n+1}=P(c_n)$ . 0.25 pt

2. a. Montrer que pour tout $x\in[1,2],0\leq P'(x)\leq P'(2)\leq\frac{7}{12}$ . 0.25 pt

b. En utilisant le théoréme des accroissements finis, vérifier que pour tout entier n, $|c_{n+1}-c|\leq\frac{7}{12}|c_n-c|$ . 0.5 pt
En déduire que la suite $c_n$ est convergente et déterminer sa limite. 0.25 pt

c. Quelle valeur suffit-il de donner à n pour que $c_n$ soit une valeur approchée de c à $10^{-2}$ 0.25 pt

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