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géométrie

géométrie plane

2018 :

Terminale S1 et S3

2018 :

Détails: Catégorie : géométrie plane

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est muni d’un repère orthonormal direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ .
On considére l’application f de $\mathcal{P}$ dans $\mathcal{P}$ qui à tout point M d’affixe z associe le point M' d’affixe z' telle que z' = $e^{i|z|}z$ .

1. Déterminer les affixespoints A' et B' images respectives par f du point A d’affixe $\pi$ et du point B d’affixe $2\pi$ . 2 × 0.5 pt

2. Montrer qu’un point M est invariant par f si et seulement s’il existe un entier naturel k tel que OM = . En déduire l’ensemble E des points invariants par f. 2 × 0.5 pt

3. Soit C le point d’affixe $1+i\sqrt{3}\quad et\quad$ la demi-droite d’origine O passant par C et ne contenant pas le point O (Demi-droite ouverte ]OC)), M un point de $\Delta$ d’affixe z et d’imageM' par f.

Déterminer |z| pour que M et M' soient symétriques par rapport l’axe $O,\vec{u}$ . 0.5 pt

4. Pour tout $k\in\mathbb{N^{\ast}}$ , on note $\mathcal{C}_k$ le cercle de centre O et de rayon $2k\pi,\mathcal{D}_k$ la couronne délimitée par les cercles $\mathcal{C}_k$ et $\mathcal{C}_{k+1}$ et $a_k$ l’aire de la couronne $\mathcal{D}_k$ .